一元二次方程基本概念 3页

一元二次方程基本概念 ‎1、基本概念：‎ ‎ 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程．‎ 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．‎ 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．‎ 2、 解方程常用方法：‎ (1) ‎. 直接开平方法:‎ ‎ 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．‎ (2) ‎.配方法：‎ ‎ 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。‎ 转化过程如下：‎ ‎ x2-64x+768=0 ‎ ‎ 移项→ x2-64x=-768‎ 两边加（）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024 ‎ ‎ 左边写成平方形式 → （x-32）2=256 ‎ ‎ 降次→ x-32=±16 ‎ ‎ 即 x-32=16或x-32=-16 ‎ ‎ 解一次方程→ x1=48，x2=16‎ ‎ 可以验证： x1=48，x2=16都是方程的根 ‎ 例1．解下列方程 ‎ （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0‎ ‎ 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．‎ ‎ 解：（1）移项，得：x2+6x=-5‎ ‎ 配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4‎ ‎ 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5‎ ‎ （2）移项，得：2x2+6x=-2‎ ‎ 二次项系数化为1，得：x2+3x=-1‎ ‎ 配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2=‎ ‎ 由此可得x+=±，即x1=-，x2=--‎ ‎ （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0‎ ‎ 移项，得x2+4x=1‎ ‎ 配方，得（x+2）2=5‎ ‎ x+2=±，即x1=-2，x2=--2‎ ‎ 总结用配方法解一元二次方程的步骤．‎ ‎ （1）移项；‎ ‎ （2）化二次项系数为1；‎ ‎ （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；‎ ‎ （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；‎ ‎（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．‎ （3） 公式法：‎ ‎ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，它的两个根 ‎ x1=， x2=‎ 解：移项，得：ax2+bx=-c ‎ 二次项系数化为1，得x2+x=-‎ ‎ 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2‎ ‎ 即（x+）2=‎ ‎ ∵b2-4ac≥0且4a2>0‎ ‎ ∴≥0‎ ‎ 直接开平方，得：x+=±‎ ‎ 即x=‎ ‎ ∴x1=，x2=‎ ‎ 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：‎ ‎ （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．‎ ‎ （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．‎ ‎ （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．‎ ‎ （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．‎