2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及平面向量的应用课件文北师大版 23页

第三节　平面向量的数 量积及平面向量的应用 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 向量的夹角 (1) 条件 : 平移两个非零向量 a 和 b 至同一起点 , 结论 :∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 叫做 a 与 b 的夹角 . (2) 范围 :0°≤θ≤180°. 特殊情况 : 当 θ=0° 时 , a 与 b _________. 当 θ=180° 时 , a 与 b _________. 当 θ=90° 时 , a 与 b _________. 共线同向 共线反向 互相垂直 2. 向量的数量积 (1) 条件 : 两个向量 a 与 b , 夹角 θ, 结论 : 数量 _____________ 叫做 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ), 记作 a · b , 即 a · b = _____________.  (2) 数量积的几何意义 条件 : a 的长度 | a |, b 在 a 的方向上的投影 __________  ( 或 b 的长度 | b |, a 在 b 方向上的投影 __________),  结论 : 数量积 a · b 等于 | a | 与 __________ 的乘积 ( 或 | b | 与 __________ 的乘积 ).  | a || b |cos θ | a || b |cos θ | b |cos θ | a |cos θ | b |cos θ | a |cos θ 3. 平面向量数量积的运算律 (1) a · b = b · a ( 交换律 ). (2)λ a · b =λ( a · b )= a ·(λ b )( 结合律 ). (3)( a + b )· c = a · c + b · c ( 分配律 ). 4. 平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a =(x 1 ,y 1 ), b =(x 2 ,y 2 ), θ =< a , b > 结论 几何表示 坐标表示 向量的模 夹角余弦 a ⊥ b 充 要条件 a · b =__ ________=0 | a · b | 与 | a || b | 的关系 | a · b |≤| a || b | 0 x 1 x 2 +y 1 y 2 【 知识点辨析 】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 两个向量的夹角的范围是 . ( 　　 ) (2) 一个向量在另一个向量方向上的投影为数量 , 而不是向量 . ( 　　 ) (3) a·b >0, 则 a 与 b 的夹角为锐角 ; a·b <0, 则 a 与 b 的夹角为钝角 . ( 　　 ) (4) 两向量的数量积是一个实数 , 向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 由两个向量夹角的定义可知 : 两个向量夹角的范围为 . (2)√. 因为向量 a 在 b 方向上的投影 | a |cos θ, 它是一个实数值 . (3)×. 因为 a·b > 0 , 则 a 与 b 的夹角为锐角或零角 ; a·b < 0 , 则 a 与 b 的夹角为钝角或平 角 . (4)√. 由向量的数量积 , 向量的加法、减法、数乘运算的定义可知 , 两个向量的 数量积结果为一实数 , 两个向量的和或差结果为向量 , 向量的数乘运算结果为向 量 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 对“向量 a 在 b 方向上的投影”理解不准确 考点一、 T3 2 数 —— 向量与形 —— 几何关系之间不能灵活转化 考点二、 T2 3 混淆向量平行、垂直的等价条件 考点三、角度 3 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 4P95 例 1 改编 ) 已知 a·b =-12 ,| a |=4, a 和 b 的夹角为 135°, 则 | b |=( 　　 ) A.12 B.6 C.3 D.3 【 解析 】 选 B. a · b =| a || b |cos 135°=-12 , 所以 | b |= 2.( 必修 4P109A 组 T9 改编 ) 已知向量 | a |=1, b = , 且 a ⊥ b , 则 a = ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 设 a =(x,y), 则依题意有 解得 所以 a = 3.( 必修 4P110B 组 T3 改编 ) 设 a =(1,2), b =(1,1), c = a +k b . 若 b ⊥ c , 则实数 k 的值等于 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. c = a +k b =(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k), 因为 b ⊥ c , 所以 b · c =0, b · c = (1,1)·(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0, 所以 k=- . 4.( 必修 4P108 复习题二 A 组 T1(13) 改编 ) 已知 | a |=5,| b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120°, 则向量 b 在向量 a 方向上的射影为 　　　　 .   【 解析 】 b 在 a 方向上的射影为 | b |cos θ=4×cos 120°=-2. 答案 : -2 5.( 必修 4P97 习题 A 组 T6 改编 ) 在圆 O 中 , 长度为 的弦 AB 不经过圆心 , 则 的值为 　　　　 .   【 解析 】 设向量 的夹角为 θ, 答案 : 1 【 核心素养 】 　数学运算 —— 向量与三角变换的综合　  【 素养诠释 】 数学运算是根据法则、公式进行变形的正确运算 , 根据问题的条件寻找与设计合理、简洁的运算途径 , 它包括 : 分析运算条件、探究运算公式、确定运算程序 . 与向量数量积有关运算求解能力应关注以下三点 : (1) 平面向量数量积的定义及运算公式 . (2) 明确是哪两个向量的数量积 . (3) 能建立平面直角坐标系的尽量建立坐标系 . 【 典例 】 (2017· 江苏高考 ) 已知向量 a =(cos x,sin x), b =(3,- ),x∈[0, π]. 世纪金榜导学号 (1) 若 a ∥ b , 求 x 的值 . (2) 记 f(x)= a · b , 求 f(x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值 . 【 素养立意 】 向量数量积与三角恒等变换 , 三角函数图像与性质结合 , 考查数学运算的核心素养 . 【 解析 】 (1) 因为 a ∥ b , 所以 3sin x=- cos x, 又 cos x≠0, 所以 tan x=- , 因为 x∈[0,π], 所以 x= . (2) 因为 x∈[0,π], 所以 x- 所 以 - ≤1, 所以 -2 ≤3, 当 x- , 即 x=0 时 ,f(x) 取得 最大值 , 为 3; 当 x- , 即 x= 时 ,f(x) 取得最小值为 -2 .