人教A版选修1-13-1空间向量及其运算第2课时（含答案） 4页

§3.1.2 空间向量的数乘运算 【学情分析】： 本节，空间向量的数乘运算共有 4 个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共 面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把 平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以 例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两 个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两 个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间 的共线和共面问题 【教学目标】： （1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算 （2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 （3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题 【教学重点】： 空间向量的数乘运算及运算律 【教学难点】： 用向量解决立几问题 【教学过程设计】： 教学环 节 教学活动 设计意图 一．温 故知新 1、空间向量的数乘运算 a ，其模长是 a 的 ||  倍 （1）当 0 时， a 与 a 同向 （2）当 0 时， a 与 a 反向 2、空间向量的数乘分配律和结合律 （1）分配律： baba   )( （2）结合律： aa )()(   3、共线向量或平形向量 类似于平面向量共线，对空间任意两个向量 )0(, bba ， ba // 的充要条件是存在实数  ，使 ba  以数乘向量及其运算律为突破口，与 平面向量进行比较学习，为下面引出 共面向量作铺垫。 二．新 课讲授 1、方向向量 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对于任意一 点 O，点 P 在直线l 上的 充要条件是存在实数 t 满足等式 方向向量的引入是为了更好的说明三 点共线的向量充要条件，作为特色班， 可以根据实际情况补充证明过程。 tOAOP  a ．其中向量 a 叫做直线l 的方向向量. 在l 上取 aAB  ，则上式可化为 ABtOAOP  证明：对于空间内任意一点 O， PBA ,, 三点共线  ABtAPRt  使,  ABtOA-OP  ABt OAOP 由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任 意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线 是一样的。 回顾平面向量的基本定理： 共面向量定理 如果两个向量 ba, 不共线，那么向量 p 与向量 ba, 共面的充要条件是存在有序实数组 ),( yx ，使得 byxp   ，这就是说，向量 p 可以由 不共线的两个向量 ba, 线性表示。 由此可以得到空间向量共面的证明方法 2、空间平面 ABC 的向量表示式 空间一点 P 位于 平面 ABC 内的充 要条件是存在有 序实数对 x，y 使 得： AP xAB yAC    ，或对空间任意一点 O 有： OP OA xAB yAC      。 回顾平面向量的基本定理可以发现， 平面中的基底理论成了空间向量关系 的一种特殊情况——共面的证明方 法，这正是由特殊到一般，由简单到 复杂的一种推广，对今后理解空间向 量的基底理论也是有一定辐射作用 的。 推论：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B， C，则点 P 与点 A，B，C 共面的充要条件是 )1(  zyxOCzOByOAxOP 其中 证明：略 本探究可以在老师的启发下，给学生 自己证明，不同层次可以酌情考虑是 否证明。 三．典 例讲练 例 1．一直平行四边形 ABCD，过平面 AC 外一点 O 做射线 OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F，G，H，且使 kOD OH OC OG OB OF OA OE  ， 求证：E，F，G，H 四点共面 分析：欲证 E，F，G，H 四点共面，只需证明 EH ，EF ， EG 共面。下面我们利用 AD ， AB ， AC 共面来证 明。 证明：因为 kOD OH OC OG OB OF OA OE  ，所以 OAkOE  ， OBkOF  ， OCkOG  ， ODkOH  ，由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADABAC  ，因此， OEOGEG  )( ADABkACkOAkOCk  OEOHOEOFOAODOAOBk  )( EHEF  由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面 进一步：请学生思考如何证明：面 AC//面 EG 四．练 习巩固 1、如图，已知空间四边形 ABCD，连结 AC，BD，E，F 分 别是 BC， CD 的中点，化简下 列各表达式，并标出化简结果 的向量。 （1） CDBCAB  （2） )(2 1 BCBDAB  （3） )(2 1 ACABAF  巩固知识，注意向量运算律的使用. 3、略解：（1） 1 2EG EF FG EF BD EF EH            （2） 1 1 1 2 2 2EG EB BF AB BC AC          2、课本 P89 练习 2-3 3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、 BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、 H四点共面（2）AC∥平面EFGH 得 EF∥AC，AC  平面 EFGH，则 AC∥ 平面 EFGH 五．小 结 1．空间向量的数乘运算 2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 3．平面的向量表达式解决共面问题 归纳知识反思方法，特点。 六．作 业 课本 P97 习题 3.1，A 组 第 1 题（3）、（4），第 2 题 练习与测试： （基础题） 1． 已知空间四边形 ABCD ，连结 ,AC BD ，设 ,M G 分别是 ,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标 出化简结果向量： （1） AB BC CD    ； AD （2） 1 ( )2AB BD BC    ； AG （3） 1 ( )2AG AB AC    ．MG （中等题） 2、在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量 1D A  、 1D C  、是（ ） A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若  BACCCbCBaCA 11 ,,, 则 （ ） A． cba  B． cba  C． cba  D． cba  B C D M G A