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- 2021-04-23 发布
万州三中2018-2019学年度上期10月月考
数学（理科）试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 下列关于棱柱说法正确的是 （ ）
A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱中只有两个面互相平行
C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的侧棱长不都相等
2.某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为( )
A.4 B.3 C.2 D.
3.若aα，bβ，α∩β=c，a∩b=M，则（ ）
A.M∈c B.Mc C.Mc D.Mβ
4.若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若∥，则 B.若∥，∥，则、、共面
C.若，则∥ D.若、、共点，则、、共面
5.设矩形边长为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为和，则 （ ）
A.> B.< C.= D.、 大小不确定
6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积等于 （ ）
A. B. C. D.
7.在正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与AC所成角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
8.已知一个表面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A.18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
10.如图，直三棱柱中，，且，则与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
11.如图，正方体中，为中点，为线段上的动点（不与，重合），以下四个命题：
（）平面．
（）平面；
（）的面积与的面积相等；
（）三棱锥的体积有最大值，其中真命题的个数为（ ）．
A. 1 B.2 C.3 D.4
12.在△中，，为的中点，将△沿折起，使间的距离为，则到平面的距离为 （ ）
A. B. C.1 D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 .
14. 在正三棱柱中，，为的中点，是上一点，且由沿棱柱的侧面经过棱到的最短路线长为,则的长为 .
15. 如图，矩形中，，⊥平面，
若在上只有一个点满足，则的值等于 .
16. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接处一个三棱锥形的铁架，则的取值范围是 .
三、解答题（本题共6道小题, 共70分第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分）
17.（本小题满分10分）已知在正方体中，分别为的中点，.
求证：(1)四点共面；
(2)若交平面于点，则三点共线 .
18.（本小题满分12分）已知正三棱柱的底面边长为8，侧棱长为6，点为中点 .
（1）求证：直线∥平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值 .
19.（本小题满分12分）（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为，面积为的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱的底面是边长为的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为，求该三棱柱的体积.
20. （本小题满分12分）如图（1），边长为的正方形中，分别为上的点，且，现沿把△剪切、拼接成如图（2）的图形，再将
△，△，△沿折起，使三点重合于点．
（1）求证：；
（2）求四面体体积的最大值．
21.（本小题满分12分）为直角梯形，，，，平面，，
（1） 求证：⊥平面；
（2） 求点到平面的距离.
22.如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当的值等于何值时，BC1∥平面AB1D1；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
答案
CBAAB DCDBA BD
13. 14.2 15.2 16.
17. 证明：（1）因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
（2）在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．
同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，
故P，Q，R三点共线．
18.（1）证明：连BC交于E，连DE, 则DE∥，
而DE面CDB，面CDB， ∴
（2）解：由（1）知∠DEB为异面直线所成的角，在， .
19. 解：（1）设圆锥的底面半径、母线长分别为，
则，解得
所以圆锥的高为，得表面积是，体积是
（2）设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又易得AM＝，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为×()2×2＝3.
20.（1）证明：图（2）中，折叠后
又∵，∴平面
又∵平面，∴
（2）解：设，则
∵，∴
由（1）平面知高为2，所以
∴时体积最大，为
21.（1） 证明：取中点为，连接，则为正方形
∴
又 ∵，∴中有，即
∵平面，平面
∴，又 ∴⊥平面
（2）解：设点到平面的距离为
，点到平面的距离为
∵ ∴
由等体积法知，即解得
22. 解：（1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点，
此时＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.∴＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
∴＝，＝.又∵＝1，∴＝1，即＝1.