高考数学专题复习教案： 间接证明易错点 3页

间接证明易错点 主标题：间接证明易错点 副标题：从考点分析间接证明在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。‎ 关键词：间接证明，易错点 难度：3‎ 重要程度：3‎ 内容：‎ ‎ 一、没有应用假设进行推理而致错 ‎        【例1】已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，用反证法证明：关于x的方程无实根.‎ ‎        错解：假设方程有实根，‎ 由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，‎ 解得，‎ 方程的判别式，‎ ‎∵，∴，∴△＜0.‎ 即关于x的方程无实根。‎ ‎        剖析：利用反证法证明时，首先要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行推理，得到矛盾，从而证明原命题成立.‎ ‎        正解：假设方程有实根，‎ 则该方程的判别式≥0，解得p≥2或p≤－2，‎ 而由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)＜0，‎ 解得，‎ 二者矛盾，所以假设错误，从而原方程无实根。‎ ‎        二、利用假设进行推理时不严密而致错 ‎        【例2】设a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)a，（1－c）a三个数不可能同时大于。‎ ‎        错解：假设三个数都大于，‎ 即，‎ 三个式子相乘，得。‎ 又因为，，，‎ ‎∴，‎ 这与假设矛盾，因此假设不成立。‎ ‎∴(1－a)b，(1－b)a，（1－c）a三个数不可能同时大于。‎ ‎        剖析：在利用基本不等式时忘记了等号，少了取等号的条件，所以证明过程不严密。‎ ‎        正确：假设三个数都大于，‎ 即，‎ 三个式子相乘，得。‎ 又因为，，，‎ ‎∴，‎ 这与假设矛盾，因此假设不成立。‎ ‎∴(1－a)b，(1－b)a，（1－c）a三个数不可能同时大于。‎ ‎        三、考虑不全面而致错 ‎        【例3】若a∥b，若直线a与平面相交，求证：直线b与平面相交。‎ ‎        错解：假设b不与平面相交，则直线b∥平面，‎ 则平面内存在直线b′，使得b∥b′.‎ 而a∥b，故a∥b′，因为平面，所以a∥平面，这与已知相矛盾，‎ 所以假设错误，b与平面相交。‎ ‎         剖析：直线与平面不相交，包含直线与平面平行和直线在平面内两种情况，少了直线在平面内的情况.‎ ‎        正解：假设b不与平面相交，则直线b∥平面或直线b平面。‎ ‎(1)若直线b∥平面，则平面内存在直线b′，使得b∥b′.‎ 而a∥b，故a∥b′，因为平面，所以a∥平面，这与已知相矛盾。‎ ‎(2)若直线b平面，则由a∥b，平面，所以a∥平面，这与已知相矛盾。‎ 综上所述，b与平面相交。‎