高考数学专题复习教案： 函数的单调性与最值备考策略 4页

函数的单调性与最值备考策略 主标题：函数的单调性与最值备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：函数，单调性，最值，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　确定函数的单调性或单调区间 ‎【例1】 (1)判断函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．‎ ‎(2)求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．‎ 解　(1)法一　任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).‎ 当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0,1－＜0，‎ 有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，‎ 此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；‎ 当x1＞x2≥时，x1－x2＞0,1－＞0，‎ 有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，‎ 此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上为增函数；‎ 综上可知，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．‎ 法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0，则1－＞0，‎ 解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0，‎ 解得－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜.‎ ‎∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数，‎ 也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．‎ 令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3.‎ ‎∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为 ‎(－∞，1)∪(3，＋∞)．‎ 又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，‎ ‎∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．‎ ‎【备考策略】(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．‎ ‎(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．‎ 考点二　利用单调性求参数 ‎【例2】 已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．‎ ‎(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．‎ ‎(1)证明　任设x1＜x2＜－2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝－.‎ ‎∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，‎ ‎∴f(x1)＞f(x2)，‎ ‎∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．‎ ‎(2)解　法一　f(x)＝＝a－，设x10.‎ 由于x1