人教新课标A版高三数学复习 知识清单 8页

1 一、集合的含义与表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 （2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“” 表示）。 （3）常用数集及其表示符号 名称 自然数集 （非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N *N Z Q R （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。 二、集合间的基本关系 表示 关系 定义 记法 集合 间的 基本 关系 相等 集合 A与集合B中的所有元素都相同 A B= 子集 集合 A中任意一元素都在集合 B中 A B 或B A 真子集 集合 A中任意一元素都在集合 B中，且集合B中 至少有一个元素不在集合 A中 空集（没有任何元 素的集合） 空集是任何集合的子集 A  空集是任何集合的真子集 三、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 集合 A和集合 B 的所 有元素，记作 A B 集合 A和集合 B 的共 同元素，记作 A B 若全集为U ，集合 A是U 的子集， 集合U 除去集合 A中所有的元素， 剩余的所有元素，记作 UC A 图形 表示 意义 A B x x A=  或 x B A B x x A=  且 x B UC A x x U=  且 x A 性质 (1) A A = ; (2) A A A= ; (3) A B B A= ; (4) A B A=  B A (1) A  = ; (2) A A A= ; (3) A B B A= ; (4) A B A=  A B (1) ( )UA C A U= ; (2) ( )UA C A = ; (3) ( )U UC C A A= ; (4) ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B= (5) ( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B= 知识拓展： 设有限集合 A 中元素的个数为 n ，则（1） （1） A 的子集个数是2n ； （2） A 的真子集个数是2n -1； （3） A 的非空子集个数是2n -1； （4） A 的非空真子集个数是2n -2。 2 一、不等式的定义 用数学符号“  、 、 、 、 ”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系， 含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a b b a    传递性 ,a b b c a c     可加性 a b a c b c  +  +  可乘性 0 a b ac bc c       c 的符号 0 a b ac bc c       同向可加性 a b a c b d c d    +  +    同向同正可乘性 0 0 a b ac bd c d          可乘方 ( )0 , 1n na b a b n N n       可开方 ( )0 , 2n na b a b n N n      同正 三、比较大小的基本方法 作差法： 理论依据： 0 ; 0 ; 0a b a b a b a b a b a b−    −    − =  = 。 基本步骤： （1）作差； （2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数 的恒等变形）； （3）结论（与 0 比较）。 四、不等式的解法 1、一元一次不等式组（a b ）： （1） x a x b    的解集为 x x b ； （2） x a x b    的解集为 x x a ； （3） x a x b    的解解为 x a x b  ；（4） x a x b    的解集为 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 2 4b ac= − 0 0= 0 二 次 函 数 2y ax bx c= + + ( 0)a  的图像 一元二次方程 2 0ax bx c+ + = ( 0)a  的根 有两个不相等实根 ( )1 2 1 2,x x x x 有两个相等实根 1 2 2 b x x a = = − 没有实数根 2 0ax bx c+ +  ( 0)a  的解集  1x x x 或 2x x 2 b x x a    −   R 2 0ax bx c+ +  ( 0)a  的解集  1x x x 或 2x x R  2 0ax bx c+ +  ( 0)a  的解集  1 2x x x x    2 0ax bx c+ +  ( 0)a  的解集  1 2x x x x  2 b x x a   = −    3、绝对值不等式 3 （1）当 0a  时，有 x a x x a   或 x a ；  x a x a x a  −   ； （2）当 0a = 时，有 0 0x x x   ； 0x  ； （3）当 0a  时， x a x R   ； x a ； （4）当 0a  时，有 cx d a x cx d a+   +  或 cx d a+  ；  cx d a x a cx d a+   −  +  . （5）当 0a = 时，有 0 0cx d x cx d+   +  ； 0cx d+  。 （6）当 0a  时，有 cx d a x R+    ； cx d a+  。 4、分式不等式 （1） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 f x g xf x g xg x      ； （2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 f x g xf x g xg x      （3） ( ) ( ) ( ) ( )0 * 0 f x f x g x g x    （4） ( ) ( ) ( ) ( )0 * 0 f x f x g x g x    一、函数的概念 1、定义 （1）两个非空的数集 A 、 B ； （2）如果按照某种确定关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合B 中都有唯一确定的 数 ( )f x 和它对应； （3）称 :f A B→ 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 ( ) ,y f x x A=  。 2、函数的定义域、值域 （1）定义域：自变量 x 的取值范围； （2）值域：与 x 相对应 y 的取值范围。 3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。 二、函数的相关结论 1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。 2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。 3、分段函数：自变量 x 的取值范围不同，需要不同的对应法则。 （1）定义域：各个部分的并集； （2）是一个函数； （3）求 ( )f x ，要判断自变量 x 在哪个范围内，在代入相应的表达式。 4、求函数定义域的方法： （1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为R ；分母 0 ；偶次根式下 0 ；奇次根式为 R ； 0 次幂底 0 ；指数为 R ；对数 0 。 （2）若已知函数 ( )f x 的定义域为 ,a b ，则函数 ( )( )f g x 的定义域由 ( )a g x b  求出。 （3）若已知函数 ( )( )f g x 的定义域为 ,a b ，则函数 ( )f x 的定义域为 ( )g x 在  ,x a b 时的 值域。 5、求函数解析式的方法 （1）待定系数法：若已知 ( )f x 的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数 即可； 例 1、已知 ( )f x 是一次函数，且 ( )( ) 4 3f f x x= + ，则 ( )f x 的解析式。 （2）换元法：设 ( )t g x= ，解出 x ，代入 ( )( )f g x ，求 ( )f t 的解析式即可； 4 （3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于 ( )f x 的方程组求出 ( )f x ； 例 2、已知函数 ( ) 1 2f x f x x   = +    ，求 ( )f x 的解析式。 （4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。 例 3、已知 ( )0 1f = ，对任意的实数 ,x y 都有 ( ) ( ) ( )2 1f x y f x y x y− = − − + ，求 ( )f x 的 解析式。 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 ( )f x 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 1 2,x x ， 当 1 2x x 时，都有 ( ) ( )1 2f x f x ，那么 就说函数 ( )f x 在区间 D 上是增函数。 当 1 2x x 时，都有 ( ) ( )1 2f x f x ，那 么就说函数 ( )f x 在区间 D 上是增函数。 2、单调区间的定义 若函数 ( )f x 在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 ( )f x 在这一区间上具有单调性，区间D 叫做 ( )f x 的单调区间。 3、判断（证明）单调性的方法 （1）图像法：在区间D 上，图像呈上升趋势，则函数在区间D 上是增函数；反之，图像呈下降 趋势，则函数在区间 D 上是减函数。 （2）利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取 1 2,x x D ，且 1 2x x ； b. 作差 ( ) ( )1 2f x f x− ； c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）； d. 定号（即判断 ( ) ( )1 2f x f x− 的正负，和“0”比较）； e. 下结论（即指出函数 ( )f x 在给定的区间上的单调性）。 4、几种初等函数单调性的判断（证明） （1）一次函数 ( 0),y kx b k x R= +   解（证明）： 在定义域R 上任取 1 2,x x R ,且 1 2x x ，则 ( ) ( )1 2f x f x− = ( )1 2( )kx b kx b+ − + 1 2( )k x x= − 1 2 1 2 0x x x x  −  当 0k  时，有 ( ) ( )1 2 1 2( ) 0f x f x k x x− = −  即 ( ) ( )1 2f x f x 故函数 y kx b= + 在 R 上是增函数。 而当 0k  时，有 ( ) ( )1 2 1 2( ) 0f x f x k x x− = −  即 ( ) ( )1 2f x f x 故函数 y kx b= + 在 R 上是减函数。 （2）二次函数 ( )2 0y ax bx c a= + +  解：单调区间为 , 2 b a   − −    ， , 2 b a   − +   ,当 0a  时，函数在 , 2 b a   − −    是减函数；在 , 2 b a   − +   上是增函数；当 0a  时，函数在 , 2 b a   − −    是增函数；在 , 2 b a   − +   上是减函 数 证明函数 ( )2 0y ax bx c a= + +  在 , 2 b a   − −    是减函数；在 , 2 b a   − +   上是增函数。 5 证明：a. 在 , 2 b a   − −    上任取 1 2,x x ,且 1 2x x ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )f x f x ax bx c ax bx c ax ax bx bx a x x b x x a x x x x b x x x x a x x b − = + + − + + = − + − = − + − = − + + − = − + +   1 2 1 2 0x x x x  −  又 1 2, 2 2 b b x x a a  −  − 1 2 1 2, 2 2 b b b x x x x a a a  +  − −− +  − 又 ( )1 20,a a x x b  +  − ( )1 2 0a x x b + +  ( )1 2( )f x f x − ( ) ( )1 2 1 2 0x x a x x b= − + +    即 ( )1 2( )f x f x 故函数 ( )2 0y ax bx c a= + +  在 , 2 b a   − −    是减函数。 b.在 , 2 b a   − +   上任取 1 2,x x ,且 1 2x x ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )f x f x ax bx c ax bx c ax ax bx bx a x x b x x a x x x x b x x x x a x x b − = + + − + + = − + − = − + − = − + + − = − + +   1 2 1 2 0x x x x  −  又 1 2, 2 2 b b x x a a  −  − 1 2 1 2, 2 2 b b b x x x x a a a  +  − −− +  − 又 ( )1 20,a a x x b  +  − ( )1 2 0a x x b + +  ( )1 2( )f x f x − ( ) ( )1 2 1 2 0x x a x x b= − + +    即 ( )1 2( )f x f x 故函数 ( )2 0y ax bx c a= + +  在 , 2 b a   − +   是减函数。 （3）反比例函数 ( 0) k y k x =  解：单调区间为 ( ),0− ， ( )0,+ ，当 0k  时，函数在 ( ),0− 和 ( )0,+ 上都为减函数；当 0k  时，函数在 ( ),0− 和 ( )0,+ 上都为增函数。 证明函数 ( 0) k y k x =  在 ( ),0− 上是减函数；在 ( )0,+ 上是减函数。 证明：在 ( ),0− 上任取 1 2,x x ,且 1 2x x ，则 ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 ( ) k k f x f x x x kx kx x x k x x x x − = − − = − = 1 2 2 1 0x x x x  −  又 ( )2 10, 0k k x x  −  6 又 1 20, 0x x  ， 1 2 0x x  ( ) ( )2 1 1 2 1 2 ( ) 0 k x x f x f x x x −  − =  即 ( )1 2( )f x f x 故函数 ( 0) k y k x =  在 ( ),0− 上是减函数。 （4）指数函数 xy a= ，当0 1a  时，在 R 上是减函数；当 1a  时，在 R 上是增函数。 证明：a. 在定义域 R 上任取 1 2,x x R ,且 1 2x x ，则 ( ) 1 1 2 2 1 2 ( ) x x x x f x a a f x a − = = 1 2 1 2, 0x x x x  −  又 1 20 1, 1 x x a a −     即 ( ) 1 2 ( ) 1 f x f x  故 ( )1 2( )f x f x 所以函数 ( )0 1xy a a=   在 R 上是减函数。 b. 在定义域 R 上任取 1 2,x x R ,且 1 2x x ，则 ( ) 1 1 2 2 1 2 ( ) x x x x f x a a f x a − = = 1 2 1 2, 0x x x x  −  又 1 21, 1 x x a a −    即 ( ) 1 2 ( ) 1 f x f x  故 ( )1 2( )f x f x 所以函数 ( )0 1xy a a=   在 R 上是增函数。 例 1 讨论函数 ( ) ( )2 0 1 ax f x a x =  − 在 ( )1,1− 上的单调性。 解：任取 ( )1 2, 1,1x x  − ，且 1 2x x ，则 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ax ax f x f x x x ax x ax x x x ax x ax ax x ax x x ax x ax x ax ax x x ax x x x a x x x x a x x x x x x − = − − − − − − = − − − − + = − − − + − = − − − + − = − − − + = − − 1 21 1x x−    ( )( )2 2 2 1 1 2 1 20, 1 0, 1 1 0x x x x x x −  +  − −  又 ( ) ( )1 20, 0a f x f x  −  故函数 ( ) ( )2 0 1 ax f x a x =  − 在 ( )1,1− 上为减函数。 7 二、函数的奇偶性 1、奇函数、偶函数的概念 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数 ( )f x 的定义域内任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x− = ，那么函数 ( )f x 是偶函数。 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 ( )f x 的定义域内任意一个 x ，都有 ( ) ( )f x f x− = − ，那么函数 ( )f x 是奇函数。 关于原点对称 2、判断（证明）函数的奇偶性的步骤 （1）求函数定义域，判断定义域是否关于原点对称； （2）求 ( )f x− ； （3）判断 ( )f x− 是否等于 ( )f x 或 ( )f x− ： a. 若 ( ) ( )f x f x− = ，则 ( )f x 是偶函数； b. 若 ( ) ( )f x f x− = − ,则 ( )f x 是奇函数； c. 若 ( ) ( )f x f x− = 且 ( ) ( )f x f x− = − ,则 ( )f x 既是偶函数又是奇函数； d. 若 ( ) ( )f x f x−  且 ( ) ( )f x f x−  − ,则 ( )f x 既不是偶函数也不是奇函数； 例 2 判断下列函数的奇偶性 （1） ( ) ( ) 1 1 1 x f x x x + = − − （2） ( ) 24 3 3 x f x x − = + − （3） ( ) 2 2 2 1 ( 0), 2 1 ( 0); x x x f x x x x − + +  =  + −  解：（1）因为要使函数有意义，要满足 1 0 1 x x +  − ，即 1 0 1 0 x x +   −  或 1 0 1 0 x x +   −  解得 1 1x−   由于定义域关于原点不对称，所以函数 ( )f x 既不是偶函数也不是奇函数。 （2）因为要使函数有意义，要满足 24 0 3 3 0 x x  −   + −  解得 2 2x−   且 0x  所以函数的定义域关于原点对称。 ( ) 2 24 4 3 3 x x f x x x − −  = = + − 又 ( ) ( )2 24 4x x f x x x − − − − = = − − ( ) ( )f x f x − = − ，即函数是奇函数。 （3）函数的定义域为  0x x  ，关于原点对称， 当 0x  时， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20, 2 1 2 1x f x x x x x f x−  − = − + − − = − − = − ， 当 0x  时， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20, 2 1 2 1x f x x x x x f x−  − = − − + − + = − − + = − ， ( ) ( )f x f x − = − ，即函数是奇函数 三、二次函数 1、二次函数的定义 形如 ( ) 2 ( 0)f x ax bx c a= + +  的函数叫做二次函数。 2、二次函数的三种表示形式 （1）一般式： ( ) 2 ( 0)f x ax bx c a= + +  ； （2）顶点式： ( ) 2 24 ( 0) 2 4 b ac b f x a x a a a −  = + +     ； （3）两根式： ( ) ( )( )1 2 ( 0)f x a x x x x a= − −  。 8 3、二次函数的图象和性质 解析式 ( ) 2 ( 0)f x ax bx c a= + +  ( ) 2 ( 0)f x ax bx c a= + +  图象 定义域 R R 值域 24 , 4 ac b a  − +   24 , 4 ac b a  − −    最值 ( ) 2 min 4 4 ac b f x a − = ( ) 2 max 4 4 ac b f x a − = 单调性 在 , 2 b a   − −    上 单 调 递 减 ， 在 , 2 b a   − +   上单调递增 在 , 2 b a   − −    上 单 调 递 增 ， 在 , 2 b a   − +   上单调递减 奇偶性 当 0b = 时为偶函数；当 0b  时为非奇非偶函数 顶点坐标 24 , 2 4 b ac b a a  − −    对称性 图像关于直线 2 b x a = − 对称 四、幂函数 1、幂函数的定义 形如 y x= 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数。 2、幂函数的性质 （1）当 0  时，幂函数 y x= 有下列性质： a. 图像都通过点 ( ) ( )0,0 , 1,1 ； b. 在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大。 （2）当 0  时，幂函数 y x= 有下列性质： a. 图像都通过点 ( )1,1 ； b. 在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小 例 1 若函数 ( )f x 是幂函数，且满足 ( ) ( )4 3 2f f= ，求（1） ( )f x 的函数表达式；（2）求 1 2 f       。 解：设 ( )f x x= ， ( ) ( )4 3 2 , 4 3*2f f  =  = ， 22 3*2 = ，即2 3 = ，故 2log 3 = ， 所以 ( ) 2log 3 f x x= ，则 1 2 f       = 2 2 log 3 log 31 1 2 2 3 − = = 。 例 2 已知幂函数 ( ) ( ) 2 2 3m mf x x m Z− + +=  为偶函数，且在区间 ( )0,+ 上是单调增函数，求 ( )f x 的函数表达式 解： ( )f x 在区间 ( )0,+ 上是单调增函数 2 2 3 0m m− + +  ，即 2 2 3 0m m− −  1 3,m−   又 , 0,1,2m Z m  = 当 0,2m = 时， ( ) 3f x x= 不是偶函数，而当 1m = 时， ( ) 4f x x= 是偶函数 ( ) 4f x x = 。