2021届高考数学一轮总复习课时作业50圆的方程含解析苏教版 6页

课时作业50　圆的方程 一、选择题 ‎1．(2020·广东佛山一中模拟)若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值集合中元素的个数为(　A　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<，又知该方程不表示圆，所以k的取值范围为≤k≤1，又因为k∈，所以满足条件的k＝，即k的取值集合为，故选A．‎ ‎2．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是(　B　)‎ A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5‎ B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25‎ C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5‎ D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25‎ 解析：圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，故排除C，D，代入(－2,2)点，只有B项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B．‎ ‎3．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　C　)‎ A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1‎ 解析：到直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组解得又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C．‎ ‎4．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　B　)‎ A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0‎ C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0‎ 解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.‎ ‎5．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　D　)‎ 6‎ A．(x－)2＋(y－1)2＝4‎ B．(x－)2＋(y－)2＝4‎ C．x2＋(y－2)2＝4‎ D．(x－1)2＋(y－)2＝4‎ 解析：设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有 解得a＝1，b＝，‎ 从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D．‎ ‎6．(2020·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是(　A　)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝＋1，故选A．‎ ‎7．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)‎ C．[－1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]‎ 解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.‎ ‎∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　B　)‎ A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2‎ C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16‎ 解析：解法1：由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝＝≤＝，当且仅当b＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r＝，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B．‎ 解法2：由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1，2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B．‎ ‎9．(2020·河南南阳模拟)已知点M(－1,0)，N(1,0)．若直线3x－4y＋m＝0上存在点P 6‎ 满足·＝0，则实数m的取值范围是(　D　)‎ A．(－∞，－5]∪[5，＋∞)‎ B．(－∞，－25]∪[25，＋∞)‎ C．[－25,25]‎ D．[－5,5]‎ 解析：由题意知，此题可转化为求直线3x－4y＋m＝0与圆x2＋y2＝1有交点时m的取值范围，则≤1，解得－5≤m≤5，故m的取值范围是[－5,5]．‎ 二、填空题 ‎10．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋‎5a＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.‎ 解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，‎ 解得a＝2或a＝－1.‎ 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．‎ 当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，‎ 化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，‎ 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．‎ ‎11．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝.‎ 解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.‎ ‎12．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是(x－2)2＋2＝.‎ 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．‎ 又因为圆与直线y＝1相切，‎ 所以＝|1－m|，解得m＝－.‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋2＝.‎ ‎13．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ 解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，‎ x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，‎ 则解得 代入x＋y＝4中，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ 6‎ 三、解答题 ‎14．(2020·山东夏津一中月考)已知圆C的圆心在直线x＋y＋1＝0上，半径为5，且圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)．‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)求过点A(－3,0)且与圆C相切的切线方程．‎ 解：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，点C在直线x＋y＋1＝0上，则有a＋b＋1＝0.圆C经过点P(－2,0)和点Q(5,1)，则解得a＝2，b＝－3.所以圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.‎ ‎(2)设所求直线为l.①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝－3，与圆C相切，符合题意．‎ ‎②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.由题意知，圆心C(2，－3)到直线l的距离等于半径5，即＝5，解得k＝，故切线方程是y＝(x＋3)．综上，所求切线方程是x＝－3或y＝(x＋3)．‎ ‎15．(2020·重庆西南大学附中检测)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.‎ ‎(1)若直线l过点(－2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎(2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．‎ 解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.‎ 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2，‎ 易求得直线l与圆C的交点为A(－2,1)，B(－2,3)，|AB|＝2，符合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则圆心C到直线l的距离 d＝＝1，‎ 解得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.‎ 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.‎ ‎(2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则CM⊥PM，‎ 所以△PMC为直角三角形，‎ 所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.‎ 6‎ 设P(x，y)，由(1)知C(－1,2)，‎ ‎|MC|＝.‎ 因为|PM|＝|PO|，‎ 所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，‎ 化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.‎ ‎16．(2020·广东省七校联合体联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴的非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，则(　A　)‎ A．OA的最大值是4，最小值是4‎ B．OA的最大值是8，最小值是4‎ C．OA的最大值是4，最小值是2‎ D．OA的最大值是8，最小值是2‎ 解析：因为∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4.因此当OA为圆的直径时，OA取得最大值，为4，如图1所示；当点B(或点C)与原点O重合时，OA取得最小值，为4，如图2所示．故选A．‎ ‎17．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|‎ ‎＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．‎ ‎(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；‎ ‎(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．‎ 解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋‎ 6‎ y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.‎ 连接MA，由已知得|AO|＝2，又⊥，故可得‎2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.‎ ‎(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．‎ 理由如下：‎ 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.‎ 由于⊥，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.‎ 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，‎ 以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.‎ 因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.‎ 6‎