黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学（文）试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com ‎2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，，则的元素个数为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的定义可以求出交集，然后判断交集的元素的个数。‎ ‎【详解】因为=，所以的元素个数为2个，故本题选B。‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集运算、以及集合元素个数。‎ ‎2.复数（为虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据复数运算可知，可知的模为，故本题正确选项为A.‎ 考点：复数的运算与复数的模.‎ ‎3.函数的最小正周期为（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把，化成 或者形式，然后根据公式,可以直接求解。‎ ‎【详解】由，可得：‎ ‎，‎ ‎，所以本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式。‎ ‎4.已知向量，，，若，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，利用数量积的坐标表示，得出方程，便可求出的值。‎ ‎【详解】=（），，故本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示、平面向量的坐标运算。重点考查了两个平面向量垂直，它们的横坐标之积与纵坐标之积的和为零。‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由渐近线方程可以知道的关系，再利用这个关系，可以求出的关系，也就可以求出离心率。‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线方程为，所以有，即，而 ‎，所以有，故本题选B。‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率、三者之间的关系。‎ ‎6.已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过三视图可以知道该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，根据棱柱的体积公式，直接求解。‎ ‎【详解】通过三视图可知，该几何体是直三棱柱，其底面是直角边边长分别为的直角三角形，高为，，故本题选B。‎ ‎【点睛】本题考查了通过三视图判断出几何体的形状、并求出其体积。‎ ‎7.若、满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ - 21 -‎ A. 0 B. -1 C. -2 D. -3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行解域，画出直线，平移直线，找到使直线 在轴截距最大的点，把坐标代入即可求出的最小值。‎ ‎【详解】画出可行解域如下图：‎ 平移直线 ，当经过交点时，直线 在轴截距最大，即有最小值，最小值为，故本题选C。‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题，解决此类问题的关键是画出正确的可行解域.‎ ‎8.函数的单调减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，然后求出函数 - 21 -‎ 的单调递减区间，结合定义域，写出函数的单调减区间。‎ ‎【详解】函数,所以 或，所以函数的定义域为或，当时，函数是单调递减，而，所以函数的单调减区间为，故本题选A。‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数的单调性。要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间。‎ ‎9.在数学解题中，常会碰到形如“”结构，这时可类比正切的和角公式.如：设是非零实数，且满足，则（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知， 对左边分式的分子分母同时除以，令=tan,构造成“”的结构，利用正切的和角公式化简，然后求出tan的值。‎ ‎【详解】不等于零 ，令=tan，‎ - 21 -‎ ‎，所以，故本题选D。‎ ‎【点睛】本题考查了两角和的正切公式。本题重点考查了类比构造法。‎ ‎10.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）‎ A. ，， B. ，，‎ C. ，， D. ，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.‎ ‎【详解】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除AB，‎ 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是.‎ 故选D.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.‎ ‎11.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是，‎ 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出的可能性有多少种，然后求出.‎ ‎【详解】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有种情况，‎ 当时，可能的情况如下表：‎ 个数 ‎1‎ ‎1，2，3，4，5‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2，3，4，5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3，4，5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4，5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.‎ ‎12.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点 - 21 -‎ ‎，与其准线相交于点.若，则的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意点的坐标为，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知 ，则 ，‎ ‎ ，求得 ，故选D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知函数，当时，函数的最大值为_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值。‎ ‎【详解】因为，所以函数是上的增函数，故 当时，函数的最大值为。‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题。‎ ‎14.已知函数是奇函数，当时，，则的值为 ______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，设为，判断是否大于零，如果大于零，直接求出的值，如果不大于零，那么根据奇函数的性质，进行求解。‎ ‎【详解】= ，， 函数是奇函数 ‎，所以的值为。‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数性质、对数的运算。‎ ‎15.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球 的表面积为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积。‎ ‎【详解】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：‎ - 21 -‎ ‎,所以球的直径为6，球的表面积为。‎ ‎【点睛】本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积。‎ ‎16.在中，已知，给出下列结论：‎ ‎①由已知条件，这个三角形被唯一确定；‎ ‎②一定是钝角三角形；‎ ‎③；‎ ‎④若，则的面积是.‎ 其中正确结论的序号是 _______‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理及三角形面积公式，余弦定理，逐一分析选项即可.‎ ‎【详解】因为(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，设，可解得，对于①，边长不确定，所以①错误，对于②由余弦定理，可知A为钝角，△ABC一定是钝角三角形，所以②正确，对于③由正弦定理知,③正确，对于④由 - 21 -‎ ‎，又,,故④错误.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面积公式求面积，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：（共60分）‎ ‎17.已知等差数列中，‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎【答案】（1）或.（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过等差数列的通项公式，求出的表达式，然后代入，中，得到方程组，解这个方程组，求出。‎ ‎（1）已知的值，直接代入等差数列的通项公式中，求出的通项公式 ‎（2）已知的值，直接代入等差数列前项和公式中，求出的前项和。‎ ‎【详解】解：设的公差为，则，‎ 即，解得，或，‎ ‎（1），.‎ ‎（2），或.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列基本量的求法、通项公式、等差数列前项和。‎ ‎18.如图所示，四棱锥中，底面，，，‎ - 21 -‎ ‎，为线段上一点，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）想要证明线面平行，就要证线线平行。取的中点，可以证明，进一步可以证明，这样根据平行四边形的性质可以得到线线平行，命题得证；‎ ‎（2）根据平面，为的中点，可以求出到平面的距离，利用等积法可以求出四面体的体积。‎ ‎【详解】解：‎ ‎（1）证明：由已知得 如图，取的中点，连接，，‎ 由为中点知，.‎ 又，故，‎ ‎∴，又∵平面，‎ 从而证得平面；‎ ‎（2）因为平面，为的中点，‎ - 21 -‎ 所以到平面的距离为，‎ 如图，取的中点，连接. ‎ 由得，则.‎ 故.‎ 所以四面体的体积.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定，一般取中点是常见的方法。同时本题也考查了利用等积法求三棱锥的体积。‎ ‎19.随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到类工人生产能力的茎叶图（如图），类工人生产能力的频率分布直方图（如图）.‎ ‎（1）问类、类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的；‎ ‎（2）求类工人生产能力的中位数，并估计 - 21 -‎ 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）若规定生产能力在内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.‎ 能力与培训时间列联表:‎ 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 能力不优秀 合计 参考数据：‎ ‎015‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）0.024；（2）可以在犯错误概率不超过的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名，B类工人中应抽查100﹣25=75，由频率分布直方图求出x；‎ ‎（2）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122，由（1）及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数；‎ ‎（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．‎ - 21 -‎ 试题解析：‎ 解：（1）由茎叶图知A类工人中抽查人数为25名, ‎ ‎∴B类工人中应抽查100-25=75（名）. ‎ 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)´10=1，得x=0.024. ‎ ‎（2）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为122 ‎ 由（1）及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为 ‎115´0.008´10+125´0.020´10+135´0.048´10+145´0.024´10=133.8 ‎ ‎（3）由（1）及所给数据得能力与培训的2´2列联表，‎ 短期培训 长期培训 合计 能力优秀 ‎8‎ ‎54‎ ‎62‎ 能力不优秀 ‎17‎ ‎21‎ ‎38‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 由上表得＞10.828 ‎ 因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.‎ 点睛：独立性检验的方法及注意事项 ‎（1）解题步骤：①)构造2×2列联表；②计算K2；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．‎ ‎（2）注意事项：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较；另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点.‎ - 21 -‎ ‎（1）若直线的倾斜角为，求的值；‎ ‎（2）设直线交直线于点，证明：直线.‎ ‎【答案】（1）;（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设，根据图形可知，直线的方程为，代入椭圆方程得到根与系数的关系，，这样可求得三角形的面积；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再根据三点共线，那么,得到坐标间的关系，若，即说明.‎ 试题解析：由题意，知，1分 ‎（1）∵直线的倾斜角为，∴．1分 ‎∴直线的方程为．2分 代入椭圆方程，可得．‎ 设．∴4分 ‎∴6分 ‎（2）设直线的方程为．‎ 代入椭圆方程，得．‎ - 21 -‎ 设，则8分 设，∵三点共线，‎ ‎∴有，∴9分 而 ‎．11分 ‎∴直线轴，即12分 考点：直线与椭圆的位置关系 ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的减区间为，增区间为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数，进行求导，判断函数的单调性，进而求出的单调区间。‎ ‎（2），，即，构造设，，则只需在恒成立即可，对进行求导，分类讨论，根据的单调性，求出满足条件的的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ ‎，当时，，是减函数，‎ - 21 -‎ ‎，，是增函数，‎ 所以，的减区间为，增区间为.‎ ‎（1）当时，，，即.‎ 设，，则只需在恒成立即可.‎ 易知，，因为，所以.‎ ‎①当时，，此时在上单调递减，‎ 所以，与题设矛盾；‎ ‎②当时，由得，当时，，‎ 当时，，此时在上单调递减，所以，当时，，与题设矛盾；‎ ‎③当时，，故在上单调递增，所以恒成立.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求单调区间。重点考查了不等式恒成立问题，解决此类问题的关键是构造函数，分类讨论，求出参量的取值范围。‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程.‎ 以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.‎ ‎（1）求与的极坐标方程；‎ - 21 -‎ ‎（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；‎ ‎（2）设的极坐标方程为，，分别与和的极坐标方程联立，可得和，进而看化简求值.‎ ‎【详解】解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，‎ 的方程为，其极坐标力程为.‎ ‎（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，，‎ 联立与的极坐标方程，得，即，‎ 联立与的极坐标方程，得，即，‎ 所以 ，‎ 又，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.‎ - 21 -‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知，且，证明；‎ ‎（2）已知，且，证明.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由展开利用基本不等式证明即可；‎ ‎（2）由 ，结合条件即可得解.‎ ‎【详解】证明：（1）因为 ‎ ‎，‎ 当时等号成立.‎ ‎（2）因为 ，‎ 又因为，所以，，，∴.‎ 当时等号成立，即原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎