八年级数学上册第2章三角形2-4线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质和判定课件 湘教版 18页

第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 2 2.4 线段的垂直平分线 新课导入 如图，人字形屋顶的 框架中点A与点A′关于线 段CD所在的直线l对称. 线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？ 推进新课 A A′ D l 如图，人字形屋顶的 框架中点A与点A′关于线 段CD所在的直线l对称. 如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合， AD=A′D， 1 2 ∠1=∠2=90°， 即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′. 推进新课 我们把垂直且平分 一条线段的直线叫作这 条线段的垂直平分线. A A′ D l 1 2 l是AA′的垂直平分线 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 如图，在线段AB的垂直平分 线l上任取一点P，连接PA，PB ，线段PA， PB之间有什么关系 ? 作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折）. 点A与点B重合 线段PA与线段PB重合. PA=PB 由此得出线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： 如图，若点P在线段AB的垂直平分 线上（AC=BC，PC⊥AB）， 则PA=PB. C 如图， ∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB， 求∠B的度数. AE=BE ∠EAB=∠B =∠B ∠CAE +∠EAB+∠B = 90° 如图， ∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB， 求∠B的度数. 解：∵DE垂直平分AB， ∴ AE=BE，∴∠EAB=∠B. ∵∠CAE=∠EAB，∴∠CAB=2∠B. ∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°. ∴∠B=30°. 我们知道线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到 线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在 线段AB的垂直平分线上吗？ 需要考虑点P是否在线段AB上. A 情况一 当点P在线段AB上时， 因为PA=PB， 所以点P为线段AB的中点， B P 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 情况二 当点P在线段AB外时， 如图，因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. C 即PC⊥AB，且AC= BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段 AB的垂直平分线上. 由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. C 符号语言： 如图，若PA=PB，则点P在线段AB 的垂直平分线上. 已知：如图，在△ABC 中，D为BC上一点，连接AD，点E 在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC. EB=EC 点E在BC的垂 直平分线上 ∠1+∠3= ∠2+∠4 AB=AC 点A在BC的垂 直平分线上 已知：如图，在△ABC 中，D为BC上一点，连接AD，点E 在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC. 证明：∵∠1=∠2，∴ EB= EC. ∴ 点E在线段BC的垂直平分线上. 又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，∴ AB=AC. ∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD垂直平分BC. 已知： 如图，在△ABC中，AB， BC的 垂直平分线相交于点O，连接OA，OB， OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA = OB. 同理 OB=OC. ∴ OA = OC. ∴点O在AC的垂直平分线上. 巩固练习 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB， BC于点 D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°，求∠CAE的度数. 解：∵ED⊥AB且ED平分AB，∴ EA=EB. ∴∠B=∠BAE（等边对等角）. 又∵∠B=30°，∴∠EAB=30°. ∵∠BAC=80°， ∴∠CAE=∠CAB－∠EAB=80°－30°=50°. 2. 已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO. 证明：∵AC=BC，AD=BD， ∴点C，D在线段AB的垂直平分线上. ∴CD为线段AB的垂直平分线. ∴AO=BO. 课后小结 线段垂直平分线的性质和判断