- 739.94 KB
- 2021-04-16 发布
一、单选题
1．已知在中， 是边上的点，且， ， ,则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
2．中， 是边上的一点，已知， ， ， ，则__________．
【答案】2
【解析】在三角形ABD中， =，利用正弦定理得，在三角形ADC中， ，所以AC=2.
故答案为2.
3．在中， ， 的面积为3， 为边的中点， ，且，则__________．
【答案】
△ABC中应用余弦定理有： ，
应用正弦定理可得： ，
则： .
4．在中， 为边长一点， ， ．若且的面积为
，则__________．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理，得，解得，因为的面积为，所以，所以，在中，由余弦定理，得，由三角形的面积公式，得,即.
5．已知中， ，角所对的边分别为，点在边上， ，且，则__________．
【答案】
三、解答题
6．在中，点在边上，且满足， ．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）（2）或．
【解析】试题分析：（1）由得，根据，可得，再根据三角恒等变换，即可求出求；（2）由（1）得，利用余弦定理即可求出．
（2）由（1）得，
∴，
∴或．
7．如图，在中，内角， ， 的对边分别为， ， ，已知， ， ， ， 分别为线段上的点，且， ．
（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（I）在△ABC中，利用余弦定理计算BC，再在△ACD中利用余弦定理计算AD；
（II）根据角平分线的性质得到，又，所以，所以， ，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.
（2）因为是的平分线，
所以，
又，所以，
所以， ，
又因为，所以，
所以．
8．在△ABC中，内角的对边成公差为2的等差数列， .
(1)求；
(2)求边上的高的长；
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
（1）根据条件可得， ，在△ABC中由余弦定理可得到关于的方程，解方程可得的值．（2）在△ABC中由三角形的面积公式可得高的长．
(2)由(1)知， ， ，
由三角形的面积公式得：
，
∴，
即边上的高
9．如图,在四边形中, 平分,
的面积为为锐角.
(1)求;
(2)求 .
【答案】(1)3；(2)45°.
试题解析：
(1)在中,
.
因为,所以.
因为为锐角,所以.
在中,由余弦定理得
= =
所以CD的长为.
即,①
在中,由正弦定理得,
即,②
平分, ,
由①②得 ,解得,
因为为锐角,所以
10．如图，在中，点在边上，且， ， ， .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：(1)由题意可知， ，设，则， .利用余弦定理即可求出的值； (2) 在中，由，得，故，
在中，由正弦定理可得： ，从而得到的值.
（Ⅱ）在中，由，得，故
，
在中，由正弦定理
，
即，故，
由，得，
.
11．在如图四边形中， 为的内角的对边，且满足.
(Ⅰ)证明： 成等差数列；
(Ⅱ)已知 求四边形的面积.
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式及正弦定理易证成等差数列；（2）四边形的面积可视为 ，其中为， 可用正弦面积公式表示.
(Ⅱ) 在中，由余弦定理有即
,即则 为.
由于
.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.③求结果.
12．中，内角所对的边分别为. 已知.
（1）求角；
（2）若， ，设为边上的点， ，求边及长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据条件得=，所以，可得。（2）由余弦定理得，解得，从而，在，可得=。
试题解析：
（1）由已知得，
所以=,
所以,
又，
∴。
（2）在，
所以
整理得
解得.
在
又在，
所以==。
13．如图，已知是内角的角平分线.
（1）用正弦定理证明： ；
（2）若，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据是的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；
（2）根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长．
（2）根据余弦定理，cos∠BAC=
即cos120°=
解得BC=
又=
∴=，
解得CD=，BD=；
设AD=x，则在△ABD与△ADC中，
根据余弦定理得，
cos60°=
且cos60°=
解得x=，即AD的长为．
14．已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由条件及余弦定理可得，从而得到．（Ⅱ）画出图形，在△ADC中由正弦定理得，又，故，因此，根据角平分线得到，所以△ABC是等腰三角形，再根据三角形的面积公式求解．
(Ⅱ)由(Ⅰ) ，依题意画出图形．在△ADC中，AC=b=，AD=，
15．在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）.
试用和表示；
（2）若恰好当时，S取得最大值，求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）设边 ，则 ，由余弦定理求出，则面积；（2）对进行求导，得到，则当
时，面积最大，此时解得。
（2）因为 ，
，
令 ，得
且当时， ， ，
当时， ， ，
所以当时，面积 最大，此时 ，所以，
解得 ，
因为 ，则.
点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。
16．如图，在中， ，点在边上， ， 为垂足.
（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求角的大小.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】（1）由题意，根据三角形的面积公式，求出，再根据余弦定理得，求出的值，由，求得的值；（2）由题意，根据角的正弦值，得，由题意，又根据正弦定理，即，从而可求得角的值.
（2）∵，∴ ，
在中，由正弦定理可得.
∵，∴，∴ .
∴.
点睛：此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题.