2021届高考数学一轮复习专题一函数与导数第3课时课件 29页

第3课时 高考热点之构造函数法 函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广.函 数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于 诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常 可以通过构造函数来求解. 构造函数方法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是 数学方法的有机组成部分，是历年高考的重点和热点，主要依 据题意，构造恰当的函数解决问题.首先解题中若遇到有关不等 式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量 的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了， 从而易于找到一种科学的解题途径.其次数量关系是数学中的 一种基本关系.现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性.因 此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示 其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的 关键所在.下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用. 题型 1 构造函数法求解客观题 例 1：(1)(2017 年云南曲靖一中)f(x)是定义在(0，＋∞)上的 非负可导函数，且满足 xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数 a，b，若 )a0 时，f′(x)<2f(x)恒成 )立，则下列不等关系一定正确的是( A.e2f(1)>－f(2) B.e2f(－1)>－f(2) C.e2f(－1)<－f(2) D.f(－2)<－e2f(1) 答案：C A.(－2,0)∪(0,2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－2,0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0,2) 即当 x>0 时，F(x)＝f(x)ln x 单调递减， F(1)＝0， 当 x>1 时，F(x)F(1)＝0，∴f(x)<0； 即当 x>0 时，f(x)<0. 又 f(x)(x∈R)是奇函数，∴当 x<0 时，f(x)>0. 不等式(x2－4)f(x)>0， 当 x>0 时，f(x)<0，∴x2－4<0，∴－20，∴x2－4>0，∴x<－2 或 x>2，∴x<－2. ∴不等式(x2－4)f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－2) ∪(0,2). 答案：D 【方法点睛】(1)若知xf′(x)＋f(x)的符号，则构造函数 g(x)＝xf(x)；一般地，若知xf′(x)＋nf(x)的符号，则构造函数 g(x)＝xnf(x). 题型 2 构造函数法求解数列中的不等问题 题型 3 构造函数法求解方程中的不等问题 题型 4 构造函数法判断方程根的存在性问题 例 4：设 a∈R，函数 f(x)＝aln x－x. (1)若 f(x)无零点，求实数 a 的取值范围； (2)若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证： ln x1＋ln x2－ 2ln a<0. ③若 a>0，令 f′(x)＝0，得 x＝a， 在区间(0，a)上， f′(x)>0，函数 f(x)是增函数； 在区间(a，＋∞)上，f′(x)<0，函数 f(x)是减函数； 故在区间(0，＋∞)上，f(x)的最大值为 f(a)＝aln a－a，由 于 f(x)无零点，则 f(a)＝aln a－a<0，解得 0h(1) ＝0.∴g′(t)>0.∴g(t)在(0,1)为增函数. ∴g(t)