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- 2021-04-15 发布
第
3
讲 不等式
高考定位
1.
利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点
，
主要以选择题、填空题为主；
2.
在解答题中
，
特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解
，
难度较大
.
真 题 感 悟
解析
可行域如图阴影部分所示
，
当直线
y
＝－
2
x
＋
z
经过点
A
(
－
6
，
－
3)
时
，
所求最小值为
－
15.
答案
A
答案
C
答案
4
1.
不等式的解法
(1)
一元二次不等式的解法
.
一元二次不等式
ax
2
＋
bx
＋
c
>0(
或
<0)(
a
≠
0
，
Δ
＝
b
2
－
4
ac
>0)
，如果
a
与
ax
2
＋
bx
＋
c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
＋
bx
＋
c
异号，则其解集在两根之间
.
考
点
整
合
4.
简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点
(
或边界上的点
)
，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决
.
热点一 不等式的性质及解法
【例
1
】
(1)
已知函数
f
(
x
)
＝
(
x
－
2)(
ax
＋
b
)
为偶函数，且在
(0
，＋
∞
)
单调递增，则
f
(2
－
x
)>0
的解集为
(
)
A.{
x
|
x
>2
或
x
<
－
2} B.{
x
|
－
2<
x
<2}
C.{
x
|
x
<0
或
x
>4} D.{
x
|0<
x
<4}
解析
(1)
∵
f
(
x
)
＝
(
x
－
2)(
ax
＋
b
)
为偶函数
，
∴
(
－
x
－
2)(
－
ax
＋
b
)
＝
(
x
－
2)(
ax
＋
b
)
，
则
(2
a
－
b
)
x
＝
0
恒成立
.
因此
2
a
－
b
＝
0
，
即
b
＝
2
a
，
则
f
(
x
)
＝
a
(
x
－
2)(
x
＋
2).
又函数在
(0
，
＋
∞
)
上单调递增
，
所以
a
>0.
f
(2
－
x
)>0
即
ax
(
x
－
4)>0
，
解得
x
<0
或
x
>4.
探究提高
1.
解一元二次不等式：先化为一般形式
ax
2
＋
bx
＋
c
>0(
a
>0)
，
再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集
.
2
.
(1)
对于和函数有关的不等式
，
可先利用函数的单调性进行转化
.
(2)
含参数的不等式的求解
，
要对参数进行分类讨论
.
答案
(1)
R
(2)[
－
1
，
2]
热点二 基本不等式及其应用
答案
(1)8
(2)4
探究提高
1.
利用基本不等式求最值
，
要注意
“
拆、拼、凑
”
等变形
，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得
.
2
.
特别注意：
(1)
应用基本不等式求最值时
，
若遇等号取不到的情况
，
则应结合函数的单调性求解
.
(2)
若两次连用基本不等式
，
要注意等号的取得条件的一致性
，
否则会出错
.
答案
(1)C
(2)C
热点三 简单的线性规划问题
命题角度
1
已知线性约束条件，求线性目标函数最值
解析
(1)
作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示
，
由
z
＝
x
＋
y
得
y
＝－
x
＋
z
，
作出直线
y
＝－
x
，
平移使之经过可行域
，
观察可知
，
最优解在
B
(0
，
3)
处取得
，
故
z
max
＝
0
＋
3
＝
3
，
选项
D
符合
.
答案
(1)D
(2)
－
5
命题角度
2
求非线性目标函数的最值
解析
作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示
，
命题角度
3
线性规划中参数问题
解析
作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示
，
答案
A
探究提高
1.
线性规划的实质是把代数问题几何化
，
即数形结合的思想
.
需要注意的是：一
，
准确无误地作出可行域；二
，
画目标函数所对应的直线时
，
要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较
，
避免出错；三
，
一般情况下
，
目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得
.
2
.
对于线性规划中的参数问题
，
需注意：
(1)
当最值是已知时
，
目标函数中的参数往往与直线斜率有关
，
解题时应充分利用斜率这一特征加以转化
.
(2)
当目标函数与最值都是已知
，
且约束条件中含有参数时
，
因为平面区域是变动的
，
所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口
，
先确定最优解
，
然后变动参数范围
，
使得这样的最优解在该区域内即可
.
解析
(1)
由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示
，
故目标函数
z
＝
x
＋
2
y
经过点
C
(
－
3
，
4)
时取最大值
z
max
＝－
3
＋
2
×
4
＝
5.
(2)
作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示
，
答案
(1)C
(2)C
1.
多次使用基本不等式的注意事项
当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法
.
2.
基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到
“
巧解
”
的作用，但往往需先变换形式才能应用
.
3.
解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点
(
或边界上的点
)
，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决
.
4.
解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法
(
如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等
).
在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力
.