利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题27105 5页

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题 近几年，随着新课标在全国的范围内的实施，高考命题也在悄悄发生变化，在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件，洛必达法则……特别是解答题中的函数与导数题，高等数学的观点尤其突出。虽然高考考试没有要求学生掌握，但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。‎ 例如2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，用初等方法处理，分析难度大，变化技巧高。但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。‎ 一．洛必达法则 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)，‎ 那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0； 　　(3)，‎ 那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)，‎ 那么=。‎ 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，， 洛必达法则也成立。‎ 洛必达法则可处理，，，，，，型。‎ 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。‎ 二．高考题处理 ‎1.(2010年全国新课标理)设函数。‎ （1） 若，求的单调区间；‎ （2） 若当时，求的取值范围 原解：（1）时，，.‎ 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 ‎（II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ，‎ 从而当，即时，，而，‎ 于是当时，.‎ ‎ 由可得.从而当时，‎ ，‎ 故当时，，而，于是当时，.‎ ‎ 综合得的取值范围为 原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：‎ 另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；‎ 当时，等价于 令(x>0),则，令，则，，‎ 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。‎ 由洛必达法则知，，‎ 故 综上，知a的取值范围为。‎ ‎2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ 原解：（Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 。‎ 考虑函数，则。‎ ‎（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时，，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ 原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：‎ 另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。‎ 令g(x)=(),则，‎ 再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；‎ 在上为减函数，在上为增函数；故>=0‎ 在上为增函数 =0‎ 当时，，当x（1，+）时， 当时，，当x（1，+）时， 在上为减函数，在上为增函数 由洛必达法则知 ，即k的取值范围为（-，0]‎ 规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。‎ 练习：1．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝ln（1＋x）－ax （a>0）‎ 若不等式f（x）<0对一切x∈（0，＋∞）恒成立，求a的取值范围；‎ 答案： ‎2． 已知函数，∈R．‎ ‎ 当时，≤恒成立，求的取值范围．‎ 答案：的取值范围是