2019届二轮复习第25练　基本初等函数、函数的应用[小题提速练]课件（55张）（全国通用） 55页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 25 练　基本初等函数、函数的 应用 [ 小题提速 练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题 . 2 . 题目难度：中档偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　基本初等函数的图象与性质 方法技巧 　 (1) 指数函数的图象过定点 (0 ， 1) ，对数函数的图象过定点 (1 ， 0). (2) 应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数 . (3) 解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质 . 核心考点突破练 √ 解析 答案 2. 函数 y ＝ ln| x | － x 2 的图象大致为 解析 答案 解析　 f ( x ) ＝ y ＝ ln| x | － x 2 ，定义域为 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 且 f ( － x ) ＝ ln| － x | － ( － x ) 2 ＝ ln| x | － x 2 ＝ f ( x ) ，故函数 y ＝ ln| x | － x 2 为偶函数，排除 B ， D ； √ 3.(2017· 全国 Ⅰ ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 A.2 x <3 y <5 z B.5 z <2 x <3 y C.3 y <5 z <2 x D.3 y <2 x <5 z √ 解析 答案 解析 　 令 t ＝ 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ， ∵ x ， y ， z 为正数， ∴ t >1. ∴ 2 x >3 y . ∴ 2 x <5 z ， ∴ 3 y <2 x <5 z . 故选 D. 若 f ( t )<1 ，由 f ( f ( t )) ＝ 2 f ( t ) ，可知 f ( t ) ＝－ 1 ， 解析 答案 考点二　函数与方程 方法技巧 　 (1) 判断函数零点个数的主要方法 ① 解方程 f ( x ) ＝ 0 ，直接求零点； ② 利用零点存在性定理； ③ 数形结合法：通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题 . (2) 解由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . √ 解析 答案 解析　 函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ，且函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数 . ∴ f (1)· f (2)<0 ， √ 解析 答案 令 y ＝ f ( x ) ＋ f ( k － x 2 ) ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝－ f ( k － x 2 ) ＝ f ( x 2 － k ). 由函数 y ＝ f ( x ) ＋ f ( k － x 2 ) 有两个零点 ， 等价 于方程 x 2 － x － k ＝ 0 在区间 ( － 1 ， 1) 上有两个不相等的实根 ， 令 g ( x ) ＝ x 2 － x － k ， √ 解析 答案 解析　 当 x ≥ 1 时， f ( x ) 呈现周期性 . 作函数 y 1 ＝ f ( x ) 和 y 2 ＝ k ( x ＋ 2) 的图象 . 由图可知，要使两函数图象有五个交点， 8. 已知函数 f ( x ) ＝ 若方程 f ( x ) ＝ x ＋ a 有 2 个不同的实根，则实数 a 的取值范围是 ________________________. 解析 答案 { a | a ＝－ 1 或 0 ≤ a <1 或 a >1} 解析　 当直线 y ＝ x ＋ a 与曲线 y ＝ ln x 相切时，设切点为 ( t ， ln t ) ， 所以 t ＝ 1 ，切点坐标为 (1 ， 0) ，代入 y ＝ x ＋ a ，得 a ＝－ 1. 又当 x ≤ 0 时， f ( x ) ＝ x ＋ a ⇔ ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0 ， 所以 ① 当 a ＝－ 1 时， ln x ＝ x ＋ a ( x >0) 有 1 个实根， 此时 ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0( x ≤ 0) 有 1 个实根，满足题意； ② 当 a < － 1 时， ln x ＝ x ＋ a ( x >0) 有 2 个实根， 此时 ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0( x ≤ 0) 有 1 个实根，不满足题意； ③ 当 a > － 1 时， ln x ＝ x ＋ a ( x >0) 无实根 ，此时 要使 ( x ＋ 1)( x ＋ a ) ＝ 0( x ≤ 0) 有 2 个实根，应有－ a ≤ 0 且－ a ≠ － 1 ，即 a ≥ 0 且 a ≠ 1 ， 综上得实数 a 的取值范围是 { a | a ＝－ 1 或 0 ≤ a <1 或 a >1}. 考点三　函数的综合应用 方法技巧 　 (1) 函数实际应用问题解决的关键是通过读题建立函数模型，要合理选取变量，寻找两个变量之间的关系 . (2) 基本初等函数与不等式的交汇问题是高考的热点，突破此类问题的关键在于准确把握函数的图象和性质，结合函数的图象寻求突破点 . 9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ( 参考数据： lg 1.12 ≈ 0.05 ， lg 1.3 ≈ 0.11 ， lg 2 ≈ 0.30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 √ 解析 答案 解析　 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金为 y 万元 ， 则 y ＝ 130(1 ＋ 12%) n . 两边取对数，得 n ·lg 1.12>lg 2 － lg 1.3 ， ∴ n ≥ 4 ， ∴ 从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元 . 10. 已知函数 f ( x ) ＝ e x － 1 ， g ( x ) ＝－ x 2 ＋ 4 x － 3 ，若存在 f ( a ) ＝ g ( b ) ，则实数 b 的取值范围为 A. [1 ， 3] B .(1 ， 3) 解析 答案 √ 解析　 函数 f ( x ) ＝ e x － 1 的值域为 ( － 1 ，＋ ∞ ) ， g ( x ) ＝－ x 2 ＋ 4 x － 3 的值域为 ( － ∞ ， 1] ， 若 存在 f ( a ) ＝ g ( b ) ，则需 g ( b ) ＞－ 1 ，即－ b 2 ＋ 4 b － 3 ＞－ 1 ， 所以 b 2 － 4 b ＋ 2 ＜ 0 ， 11. 已知函数 f ( x ) ＝ 且 关于 x 的方程 f ( x ) ＋ x － a ＝ 0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是 __________. 解析 答案 (1 ，＋ ∞ ) 解析　 画出函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ a － x 的图象如图所示，所以 a >1. 12. 已知 f ( x ) ＝ 则 f ( x ) ≥ － 2 的解集是 ____________________. 解析 答案 当 x ＞ 0 时， f ( x ) ≥ － 2 ， 即 ≥ － 2 ， 可转化为 ≥ 解得 0 ＜ x ≤ 4. 易错易混专项练 1. 函数 f ( x ) ＝ － 2 x 2 的图象大致为 √ 解析 答案 解析 　 因为 f ( － x ) ＝ － 2( － x ) 2 ＝ f ( x ) ， 所以函数 y ＝ f ( x ) 是偶函数 . 当 x >0 时， f ′ ( x ) ＝ 2 x － 4 x ＝ 2 x ( － 2) ， 结合图象的对称性可知，故选 A. 2. 如果函数 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1( a >0 且 a ≠ 1) 在区间 [ － 1 ， 1] 上的最大值是 14 ，则 a 的值为 √ 解析 答案 解析　 令 a x ＝ t ( t >0) ，则 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1 ＝ t 2 ＋ 2 t － 1 ＝ ( t ＋ 1) 2 － 2. 当 a >1 时，因为 x ∈ [ － 1 ， 1] ， 所以 y max ＝ ( a ＋ 1) 2 － 2 ＝ 14 ， 解得 a ＝ 3( 负值舍去 ) ； 当 0< a <1 时，因为 x ∈ [ － 1 ， 1] ， 3.(2018· 全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ a . 若 g ( x ) 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A.[ － 1 ， 0 ) B.[0 ，＋ ∞ ) C.[ － 1 ，＋ ∞ ) D.[1 ，＋ ∞ ) √ 解析 答案 解析　 令 h ( x ) ＝－ x － a ， 则 g ( x ) ＝ f ( x ) － h ( x ). 在同一坐标系中画出 y ＝ f ( x ) ， y ＝ h ( x ) 图象的示意图 ， 如 图所示 . 若 g ( x ) 存在 2 个零点，则 y ＝ f ( x ) 的图象与 y ＝ h ( x ) 的图象有 2 个交点，平移 y ＝ h ( x ) 的图象可知，当直线 y ＝－ x － a 过点 (0 ， 1) 时，有 2 个交点， 此时 1 ＝－ 0 － a ， a ＝－ 1. 当 y ＝－ x － a 在 y ＝－ x ＋ 1 上方，即 a ＜－ 1 时，仅有 1 个交点，不符合题意； 当 y ＝－ x － a 在 y ＝－ x ＋ 1 下方，即 a ＞－ 1 时，有 2 个交点，符合题意 . 综上， a 的取值范围为 [ － 1 ，＋ ∞ ). 故 选 C . 4. 已知函数 f ( x ) ＝ 若 | f ( x )| ≥ ax ，则 a 的取值范围是 _________. 解析 答案 [ － 2 ， 0] 解析　 由 y ＝ | f ( x )| 的图象知， ① 当 x ＞ 0 时，只有当 a ≤ 0 时，才能满足 | f ( x )| ≥ ax . ② 当 x ≤ 0 时， y ＝ | f ( x )| ＝ | － x 2 ＋ 2 x | ＝ x 2 － 2 x . 故由 | f ( x )| ≥ ax ，得 x 2 － 2 x ≥ ax . 当 x ＝ 0 时，不等式为 0 ≥ 0 成立 . 当 x ＜ 0 时，不等式等价于 x － 2 ≤ a . 因为 x － 2 ＜－ 2 ，所以 a ≥ － 2. 综上可知， a ∈ [ － 2 ， 0]. 解题秘籍 　 (1) 基本初等函数的图象可根据特殊点及函数的性质进行判定 . (2) 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，解题中要优先考虑函数的定义域 . (3) 数形结合是解决方程、不等式的重要工具，指数函数、对数函数的底数要讨论 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 ∴ b 2 － 4( b － a ) ＝ b 2 － 4 b ＋ 4 a ＞ b 2 － 4 b ＋ 4 ≥ 0 ， ∴ b 2 ＞ 4( b － a ) ， √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 若函数 f ( x ) ＝ a |2 x － 4| ( a >0 ，且 a ≠ 1) 满足 f (1) ＝ 则 f ( x ) 的单调递减区间是 A.( － ∞ ， 2] B .[2 ，＋ ∞ ) C.[ － 2 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ，－ 2] √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由于 y ＝ |2 x － 4| 在 ( － ∞ ， 2] 上单调递减，在 [2 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 2] 上单调递增，在 [2 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 函数 f ( x ) ＝ | x － 2| － ln x 在定义域内零点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析 答案 解析　 由题意，函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 由 函数零点的定义， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 内的零点即是方程 | x － 2| － ln x ＝ 0 的根 . 令 y 1 ＝ | x － 2| ， y 2 ＝ ln x ( x ＞ 0) ，在同一坐标系中画出两个函数的图象 . 由图得两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点 . 解析　 ∵ y ＝ ＝ ( 0 ≤ x ＜ 3) ， 当 0 ≤ x ＜ 3 时，－ 3 ＜－ ( x － 1) 2 ＋ 1 ≤ 1 ， ∴ e － 3 ＜ ≤ e 1 ， 即 e － 3 ＜ y ≤ e ， ∴ 函数的值域是 (e － 3 ， e]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 函数 y ＝ (0 ≤ x ＜ 3) 的值域是 A.(0 ， 1] B .(e － 3 ， e] C. [e － 3 ， 1] D . [1 ， e] √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 函数 f ( x ) ＝ a x ＋ log a ( x ＋ 1) 在 [0 ， 1] 上的最大值和最小值之和为 a ，则 a 的值为 √ 解析 答案 解析　 当 a ＞ 1 时，由 a ＋ log a 2 ＋ 1 ＝ a ， 得 log a 2 ＝－ 1 ， 当 0 ＜ a ＜ 1 时，由 1 ＋ a ＋ log a 2 ＝ a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 若函数 f ( x ) ＝ a e x － x － 2 a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 　 函数 f ( x ) ＝ a e x － x － 2 a 的导函数 f ′ ( x ) ＝ a e x － 1 ， 当 a ≤ 0 时， f ′ ( x )<0 恒成立，函数 f ( x ) 在 R 上单调递减，不可能有两个零点 ； 令 g ( a ) ＝ 1 ＋ ln a － 2 a ( a ＞ 0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综上，实数 a 的取值范围是 (0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A. a >0 ， b >0 ， c <0 B. a <0 ， b >0 ， c >0 C. a <0 ， b >0 ， c <0 D. a <0 ， b <0 ， c <0 √ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 f ( x ) ＝ 0 时， ax ＋ b ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知幂函数 f ( x ) ＝ ( n 2 ＋ 2 n － 2) ( n ∈ Z ) 的图象关于 y 轴对称，且 在 ( 0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，那么 n 的值为 ___. 解析 答案 1 解析　 由于 f ( x ) 为幂函数，所以 n 2 ＋ 2 n － 2 ＝ 1 ， 解得 n ＝ 1 或 n ＝－ 3 ，经检验，只有 n ＝ 1 符合题意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知函数 f ( x ) ＝ 若函数 g ( x ) ＝ f ( f ( x )) － a 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ____________. 解析 答案 [ － 1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 设 t ＝ f ( x ) ，令 f ( f ( x )) － a ＝ 0 ，则 a ＝ f ( t ). 在同一坐标系内作 y ＝ a ， y ＝ f ( t ) 的图象 ( 如图 ). 当 a ≥ － 1 时， y ＝ a 与 y ＝ f ( t ) 的图象有两个交点 . 设交点的横坐标为 t 1 ， t 2 ( 不妨设 t 2 > t 1 ) 且 t 1 < － 1 ， t 2 ≥ － 1 ，当 t 1 < － 1 时， t 1 ＝ f ( x ) 有一解；当 t 2 ≥ － 1 时， t 2 ＝ f ( x ) 有两解 . 当 a < － 1 时，只有一个零点 . 综上可知，当 a ≥ － 1 时，函数 g ( x ) ＝ f ( f ( x )) － a 有三个不同的零点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 设函数 f ( x ) ＝ 则 函数 y ＝ f ( f ( x )) － 1 的零点个数为 ____. 解析 答案 2 解析　 ① 当 x ≤ 0 时， y ＝ f ( f ( x )) － 1 ＝ f (2 x ) － 1 ＝ log 2 2 x － 1 ＝ x － 1 ，令 x － 1 ＝ 0 ， 则 x ＝ 1 ，显然与 x ≤ 0 矛盾， 所以当 x ≤ 0 时， y ＝ f ( f ( x )) － 1 无零点 . ② 当 x ＞ 0 时，分两种情况：当 x ＞ 1 时， log 2 x ＞ 0 ， y ＝ f ( f ( x )) － 1 ＝ f (log 2 x ) － 1 ＝ log 2 (log 2 x ) － 1 ， 令 log 2 (log 2 x ) － 1 ＝ 0 ， 得 log 2 x ＝ 2 ，解得 x ＝ 4 ； 当 0 ＜ x ≤ 1 时， log 2 x ≤ 0 ， y ＝ f ( f ( x )) － 1 ＝ f (log 2 x ) － 1 ＝ － 1 ＝ x － 1 ， 令 x － 1 ＝ 0 ，解得 x ＝ 1. 综上，函数 y ＝ f ( f ( x )) － 1 的零点个数为 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 如图，画出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [0 ， 4] 上的图象， 可知 有 4 个交点，并且关于点 (2 ， 0) 对称 ， 所以 y 1 ＋ y 2 ＋ y 3 ＋ y 4 ＝ 0 ， x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ＝ 8 ， 所以 f ( y 1 ＋ y 2 ＋ y 3 ＋ y 4 ) ＋ g ( x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ x 4 ) ＝ 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com