高中人教a版数学必修4：第16课时 三角函数模型的简单应用 word版含解析 5页

第 16 课时 三角函数模型的简单应用 课时目标 1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题． 2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题． 识记强化 三角函数模型应用的四个问题是： (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式画图象； (3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型； (4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型． 课时作业 一、选择题 1．某人的血压满足函数式 f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中 f(t)为血压，t 为时间，则此人 每分钟心跳的次数为( ) A．60 B．70 C．80 D．90 答案：C 解析：由于ω＝160π，故函数的周期 T＝ 2π 160π ＝ 1 80 ，所以 f＝1 T ＝80，即每分钟心跳的次 数为 80.故选 C. 2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离 S cm 和时间 t s 的函数关系为 S＝ 8sin 2πt＋π 3 ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A．2πs B．πs C．0.5 s D．1 s 答案：D 解析：因为ω＝2π，所以 T＝2π ω ＝1. 3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为 v0，发射角为θ，重力加速度为 g，则炮弹上 升的高度 y 与飞行时间 t 之间的关系式为( ) A．y＝v0t B．y＝v0sinθt－1 2gt2 C．y＝v0sinθt D．y＝v0cosθt 答案：B 解析：竖直方向的分速度 v0sinθ，由竖直上抛运动的位移公式 y＝v0sinθt－1 2gt2，故选 B. 4．单位圆上有两个动点 M、N，同时从 P(1,0)点出发，沿圆周转动，M 点按逆时针方 向转，速度为 π 6rad/s，N 点按顺时针方向转，速度为 π 3rad/s，则它们出发后第三次相遇时各 自走过的弧度数分别为( ) A．π，2π B．π，4π C．2π，4π D．4π，8π 答案：C 解析：设 M、N 两点走过的弧长分别为 l1 和 l2，自出发至第三次相遇，经过 t 秒，则 l1 ＝π 6t，l2＝π 3t. ∴π 6t＋π 3t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π. 5．如图为 2015 年某市某天中 6 h 至 14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数 y＝Asin(ωx ＋φ)＋bA>0，ω>0，π 2<φ<π的半个周期的图象，则该天 8 h 的温度大约为( ) A．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃ 答案：D 解析：由题意得 A＝1 2 ×(30－10)＝10，b＝1 2 ×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴2π ω ＝ 16，∴ω＝π 8 ，∴y＝10sin π 8x＋φ ＋20，将 x＝6，y＝10 代入得 10sin π 8 ×6＋φ ＋20＝10，即 sin 3π 4 ＋φ ＝－1，由于π 2<φ<π，可得φ＝3π 4 ，∴y＝10sin π 8x＋3π 4 ＋20，x∈[6,14]．当 x＝8 时，y＝10sin π 8 ×8＋3 4π ＋20＝20－5 2≈13，即该天 8 h 的温度大约为 13 ℃，故选 D. 6．一根长 l 厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置 的位移 s(厘米)和时间 t(秒)的函数关系是：s＝3cos g lt＋π 3 .已知 g＝980 厘米/秒，要使小 球摆动的周期是 1 秒，线的长度应当是( ) A.980 π cm B.245 π cm C.245 π2 cm D.980 π2 cm 答案：C 解析：由周期 T＝2π ω ＝2π/ g l ＝2π l g ，所以小球的摆动周期 T＝2π l g. 由 l＝g T 2π 2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得 l＝980 1 2π 2＝245 π2 cm. 二、填空题 7．电流 I(mA)随时间 t(s)变化的函数关系是 I＝3sin100πt＋π 3 ，则电流 I 变化的最小正周 期、频率和振幅分别为______，______，______. 答案： 1 50 50 3 解析：最小正周期 T＝ 2π 100π ＝ 1 50 ；频率 f＝1 T ＝50；振幅 A＝3. 8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0 ， |φ|<π 2 的模型波动(x 为月份)．已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月 份价格最低为 5 千元．根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2sin π 4x－π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*) 解析：由题意，可得 A＝9－5 2 ＝2，B＝7， 周期 T＝2π ω ＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π 4. ∴f(x)＝2sin π 4x＋φ ＋7. ∵当 x＝3 时，y＝9，∴2sin 3π 4 ＋φ ＋7＝9. 即 sin 3π 4 ＋φ ＝1. ∵|φ|<π 2 ，∴φ＝－π 4. ∴f(x)＝2sin π 4x－π 4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*)． 9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动θ角到 OB，设 B 点与地面距 离是 h，则 h 与θ间的函数关系式为______________________． 答案：h＝5.6＋4.8sin θ－π 2 解析： 以 O 为原点建立坐标系，如右图， 则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π 2 ， 故点 B 的坐标为 4.8cos θ－π 2 ，4.8sin θ－π 2 . ∴h＝5.6＋4.8sin θ－π 2 . 三、解答题 10．交流电的电压 E(单位：V)随时间 t(单位：s)变化的关系式是 E＝ 220 3sin 100πt＋π 6 ，t∈[0，＋∞)． (1)求开始时(t＝0)的电压； (2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔． 解：(1)当 t＝0 时，E＝220 3×sinπ 6 ＝110 3，即开始时的电压为 110 3 V. (2)电压的最大值为 220 3 V. 当 100πt＋π 6 ＝π 2 时，t＝ 1 300 ，即电压首次达到最大值的时间为 1 300 s. (3)T＝ 2π 100π ＝ 1 50 ，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为 1 50 s. 11．电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π 2. (1)若 I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的 解析式； (2)为了使 I＝Asin(ωt＋φ)中的 t 在任意一个 1 100 s 的时间段内电流强度 I 能取得最大值与 最小值，那么正整数ω的最小值是多少？ 解：(1)由图，可知 A＝300. 设 t0＝－ 1 300 ，t1＝ 1 150 ，t2＝ 1 60.∵T＝t2－t0＝ 1 60 － － 1 300 ＝ 1 50 ，∴ω＝2π T ＝100π，∴I＝ 300sin(100πt＋φ)． 将 － 1 300 ，0 代入解析式，得－π 3 ＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝π 3 ＋2kπ，k∈Z. ∵|φ|<π 2 ，∴φ＝π 3 ，∴I＝300sin 100πt＋π 3 . (2)由题意，知2π ω ≤ 1 100 ，∴ω≥200π， ∴正整数ω的最小值为 629. 能力提升 12．如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转 一周，点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l，弦 AB 的长为 d，则函数 d＝f(l)的图象大致是( ) 答案：C 解析：令 AP 所对的圆心角为θ，由|OA|＝1，得 l＝θ. 又∵sinθ 2 ＝d 2 ，∴d＝2sinθ 2 ＝2sinl 2. ∴d＝f(l)＝2sinl 2(0≤l≤2π)，它的图象为 C. 13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某 地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，AB＝30 km，BC ＝15 km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与 A、B 等距离的一 点 O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO、BO、PO.设∠BAO＝x(弧度)，排 污管道的总长度为 y km. (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 O 点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精 确到 0.01 km)． 分析：(1)直接由已知条件求出 AO、BO、OP 的长度，即可得到所求函数关系式； (2)记 p＝2－sinx cosx ，则 sinx＋pcosx＝2，求出 p 的范围，即可得出结论． 解：(1)由已知得 y＝2× 15 cosx ＋15－15tanx， 即 y＝15＋15×2－sinx cosx (其中 0≤x≤π 4) (2)记 p＝2－sinx cosx ，则 sinx＋pcosx＝2，则有| 2 1＋p2|≤1， 解得 p≥ 3或 p≤－ 3 由于 y>0，所以，当 x＝π 6 ，即点 O 在 CD 中垂线上离点 P 距离为 15－15 3 3 km 处，y 取得最小值 15＋15 3≈40.98 km.