2021届高考数学一轮复习第六章数列创新引领前瞻数列热点问题课件新人教A版 23页

数列热点问题 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 等比 ( 差 ) 数列的判定与证明 2019· 全国 Ⅱ ， 19 ； 2018· 全国 Ⅰ ， 17 ； 2017· 全国 Ⅰ ， 17 逻辑推理、数学运算 通项与求和 2019· 天津， 19 ； 2018· 全国 Ⅱ ， 17 ； 2018· 全国 Ⅲ ， 17 数学运算、数学建模 等差与等比数列的综合问题 2019· 全国 Ⅰ ， 18 ； 2019 · 全国 Ⅱ ， 18 ； 2019· 北京， 16 ； 2017· 全国 Ⅱ ， 17 ； 2018· 天津， 18 ； 2018· 全国 Ⅰ ， 17 ； 2018· 浙江， 20 数学运算、逻辑推理 热点聚焦突破 教材链接高考 —— 等比 ( 差 ) 数列的判定与证明 [ 教材探究 ] 1. ( 必修 5P50 例 2) 根据图 2.4 － 2 中的框图 ( 图略，教材中的图 ) ，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式 . 这个数列是等比数列吗？ 2.( 必修 5P69B6) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 5 ， a 2 ＝ 2 ，且 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 3 a n － 2 ( n ≥ 3). 对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？ 【教材拓展】 (2019· 绵阳检测 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， na n ＋ 1 － ( n ＋ 1) a n ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n . 探究提高　 由数列的递推公式证明数列是等差或等比数列，并求其通项公式是数列命题的常见题型，解题的关键是通过适当的变形，转化为等差、等比等特殊的数列问题 . 【链接高考】 (2019· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知数列 { a n } 和 { b n } 满足 a 1 ＝ 1 ， b 1 ＝ 0 ， 4 a n ＋ 1 ＝ 3 a n － b n ＋ 4 ， 4 b n ＋ 1 ＝ 3 b n － a n － 4. (1) 证明： { a n ＋ b n } 是等比数列， { a n － b n } 是等差数列； (2) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式 . (1) 证明　 由题设得 4( a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ) ＝ 2( a n ＋ b n ) ， 由题设得 4( a n ＋ 1 － b n ＋ 1 ) ＝ 4( a n － b n ) ＋ 8 ， 即 a n ＋ 1 － b n ＋ 1 ＝ a n － b n ＋ 2. 又因为 a 1 － b 1 ＝ 1 ， 所以 { a n － b n } 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列 . 教你如何审题 —— 等差与等比数列的综合问题 【例题】 (2018· 天津卷 ) 设 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ； { b n } 是等比数列，公比大于 0 ，其前 n 项和为 T n ( n ∈ N * ). 已知 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ， b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ， b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 . (1) 求 S n 和 T n ； (2) 若 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n ，求正整数 n 的值 . [ 审题路线 ] [ 自主解答 ] 解　 (1) 设等比数列 { b n } 的公比为 q ( q >0). 由 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ，可得 q 2 － q － 2 ＝ 0. 因为 q >0 ，可得 q ＝ 2 ，故 b n ＝ 2 n － 1 .   设等差数列 { a n } 的公差为 d . 由 b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ，可得 a 1 ＋ 3 d ＝ 4. 由 b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 ，可得 3 a 1 ＋ 13 d ＝ 16 ，从而 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 1 ，故 a n ＝ n . 由 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n 整理得 n 2 － 3 n － 4 ＝ 0 ，解得 n ＝－ 1( 舍 ) ，或 n ＝ 4. 所以 n 的值为 4. 探究提高　 1. 本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前 n 项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键 . 2. 利用等差 ( 比 ) 数列的通项公式及前 n 项和公式列方程 ( 组 ) 求出等差 ( 比 ) 数列的首项和公差 ( 比 ) ，进而写出所求数列的通项公式及前 n 项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法 . 3. 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化 . 【尝试训练】 (2019· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知 { a n } 是各项均为正数的等比数列， a 1 ＝ 2 ， a 3 ＝ 2 a 2 ＋ 16. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ log 2 a n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 . 解　 (1) 设 { a n } 的公比为 q ，由题设得 2 q 2 ＝ 4 q ＋ 16 ，即 q 2 － 2 q － 8 ＝ 0. 解得 q ＝－ 2( 舍去 ) 或 q ＝ 4. 因此 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 × 4 n － 1 ＝ 2 2 n － 1 . (2) 由 (1) 得 b n ＝ (2 n － 1)log 2 2 ＝ 2 n － 1 ， 因此数列 { b n } 的前 n 项和为 1 ＋ 3 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ n 2 . 满分答题示范 —— 数列的通项与求和 【例题】 (13 分 )(2019· 天津卷 ) 设 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，公比大于 0. 已知 a 1 ＝ b 1 ＝ 3 ， b 2 ＝ a 3 ， b 3 ＝ 4 a 2 ＋ 3. [ 规范解答 ] 解　 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ( q >0). 依题意，得 3′ 由条件建立方程组求公差和公比 故 a n ＝ 3 ＋ 3( n － 1) ＝ 3 n ， b n ＝ 3 × 3 n － 1 ＝ 3 n . 由公式求通项 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 3 n .5′ (2) a 1 c 1 ＋ a 2 c 2 ＋ … ＋ a 2 n c 2 n ＝ 根据数列特征分组 ( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 2 n － 1 ) ＋ ( a 2 b 1 ＋ a 4 b 2 ＋ a 6 b 3 ＋ … ＋ a 2 n b n ) 7′ 应用公式求和 9′ ＝ 3 n 2 ＋ 6(1 × 3 1 ＋ 2 × 3 2 ＋ … ＋ n × 3 n ). 记 T n ＝ 1 × 3 1 ＋ 2 × 3 2 ＋ … ＋ n × 3 n ， ① 则 3 T n ＝ 1 × 3 2 ＋ 2 × 3 3 ＋ … ＋ n × 3 n ＋ 1 ， ② ② － ① 得， 2 T n ＝－ 3 － 3 2 － 3 3 － … － 3 n ＋ n × 3 n ＋ 1 错位相减求和 [ 高考状元满分心得 ] ❶ 得步骤分：抓住得分点的解题步骤， “ 步步为赢 ” ，在第 (1) 问中，由条件式转化为关于 d ， q 的方程组，由公式求 a n ， b n ，在第 (2) 问中观察数列的结构特征先分组，后用错位相减法求和 . ❷ 得关键分： (1) 列方程组， (2) 分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，无则没分 . ❸ 得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第 (1) 问中的解方程，起着至关重要的作用，第 (2) 问中的错位相减法求和是计算中的难点 . 【规范训练】 ( 开放题 ) 在等差数列 { a n } 中，已知 a 6 ＝ 16 ， a 18 ＝ 36. 选条件 ③ ： ∵ a n ＝ 2 n ， b n ＝ 2 a n · a n ， ∴ b n ＝ 2 2 n ·2 n ＝ 2 n ·4 n ， ∴ S n ＝ 2 × 4 1 ＋ 4 × 4 2 ＋ 6 × 4 3 ＋ … ＋ 2 n × 4 n ， ① 4 S n ＝ 2 × 4 2 ＋ 4 × 4 3 ＋ 6 × 4 4 ＋ … ＋ 2( n － 1) × 4 n ＋ 2 n × 4 n ＋ 1 ， ②