2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版） 15页

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线中，2P=,所以p=， =,焦点在y轴的负半轴，所以焦点坐标为 故选B ‎2．圆的圆心到直线的距离为，则的值为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】圆心为 半径为1，圆心到直线的距离为 或 ‎ 故选C ‎3．用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》里就有记载，如“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 169石 B. 268石 C. 338石 D. 1500石 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知：这批米内夹谷约为 石 故选A ‎4．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率是，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的离心率是，即 因为焦点 在轴上，所以双曲线的渐近线方程为 ‎ 故选B ‎5．如下图所示的程序框图的运行结果为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 进入 第一次循环： ‎ 第二次循环： ‎ 第三次循环： ‎ 第四次循环： 很明显循环周期为3，故2018=6723+2,所以 ‎ 故选D ‎6．某班有50名学生，男女人数不等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图：‎ 则下列说法一定正确的是 A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数 C. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 D. 这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差 ‎【答案】D ‎【解析】若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以A错； 由题目看不出是系统抽样，所以B错；‎ 该班男生成绩的平均数为 ，女生的平均数为 所以C错；‎ 这5名男生成绩的方差为 ，女生的方差为 ‎ 男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以D对；‎ 故选D ‎7．给出下列说法：‎ ‎①方程表示一个圆；‎ ‎②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆； ‎ ‎③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；‎ ‎④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程=不表示圆，故①错；‎ 若m>n>0,则方程即 所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；‎ 已知点、，若=|MN|，所以动点p的轨迹是一条直线故③错；‎ 以过抛物线焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是相切，故④对；‎ 故选B ‎8．我国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为1，3，5，则输出的值为 A. 17 B. 12‎ C. 15 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵输入的x=2，n=2， 当输入的a为1时，S=1，k=1，进入下一次循环； 当再次输入的a为3时，S=5，k=2，进入下一次循环； 当输入的a为5时，S=15，k=3，退出循环的条件； 故输出的S值为15‎ 故选C ‎9．两圆和相外切，且，则的最大值为 A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】即，圆心 半径为2； 即 圆心为 半径为1；因为两圆和相外切，所以 又 当且仅当 时取等号 故的最大值为 故选C ‎10．直线与抛物线交于两点， 为坐标原点， ，且，垂足为点，则抛物线的准线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为点， 又且AB过D（1,2）则直线AB的方程 整理得 ，设点A 点B 由 则 即 则AB的直线方程为 ①则消去x得 ②把②代入解得 ‎ 所以准线方程为 故选D ‎11．已知直线过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点．点是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且∥，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当直线斜率不存在时， ；‎ 当直线斜率存在时，设直线l的方程为 且直线y=k(x−1)代入椭圆方程,消去y可得 ‎ 把直线y=kx代入椭圆方程,消去y,并整理得： 设 ‎ ‎ ；‎ 故选A 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，要先考虑直线斜率不存在时，斜率存在时主要是利用弦长公式进行表示，需要计算准确认真.‎ ‎12．双曲线的左右焦点分别为、， 是双曲线右支上一点， 为的内心， 交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为的内心，所以I是三个内角角平分线的交点，在三角形PQ中，根据角平分线性质定理有 在三角形中， ‎ 故选B 点睛：三角形内心是角平分线交点，利用角平分线性质定理得长度比，再利用双曲线的定义即可得出基本量与的关系.‎ ‎13．某校老年教师人、中年教师人和青年教师人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为__________．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ 由题意，老年和青年教师的人数比为90：160=9：16， 因为青年教师有32人，所以老年教师有18人.‎ 二、填空题 ‎14．已知点关于直线的对称点为，则圆关于直线对称的圆的标准方程为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点关于直线的对称点为，则直线的方程为，圆的圆心为 半径为，所以圆关于直线对称的圆的圆心为 半径为 ‎ 所以圆的标准方程为 故答案为 ‎15．过点作斜率为的直线， 与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设利用点差法得 ‎ ‎ 因为，所以M为AB的中点， 又直线的斜率为 所以 ‎ 故答案为 ‎16．平面内与两定点， 连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线.给出以下四个结论：‎ ‎①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；‎ ‎③当时，曲线的渐近线方程为；‎ ‎④当时，曲线的焦点坐标分别为和.其中全部正确结论的序号为__________.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】设所求点P 则由题意得 ‎ 对于①当时，曲线C为表示一个圆故①对；‎ 对于②当时，曲线为 故②对；‎ 对于③当时，曲线为 渐近线方程为 故③错；‎ 对于④当时，曲线为 曲线 表示焦点在轴上的椭圆， 所以曲线的焦点坐标分别为和.‎ 当时，曲线 表示焦点在轴上的双曲线， 所以曲线的焦点坐标分别为和.故④对 ；‎ 故答案为①②④‎ 点睛：本题考查了轨迹问题，可以根据题意直接表示出来即可，考查了曲线方程的表示，根据参数的范围确定，也考查了圆锥曲线的性质，注意双曲线的渐近线方程一定要看准焦点的位置是在轴还是轴；‎ 三、解答题 ‎17．已知圆上存在两点关于直线对称.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点作圆的两条切线，切点分别为，试求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，直线过圆心，得（Ⅱ） 则.设点到直线的距离为，根据 等面积法可得，所以即可求.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）圆，‎ 依题意，直线过圆心，‎ ‎，即. ‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下， ， ，‎ 则.‎ 设点到直线的距离为，‎ 有，‎ ‎， .‎ ‎18．在一次“汉马”（武汉马拉松比赛的简称）全程比赛中，50名参赛选手（24名男选手和26名女选手）的成绩（单位：分钟）分别为数据 (成绩不为0).‎ ‎（Ⅰ）24名男选手成绩的茎叶图如图⑴所示，若将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，求其中成绩在区间上的选手人数；‎ ‎（Ⅱ）如图⑵所示的程序用来对这50名选手的成绩进行统计.为了便于区别性别，输入时，男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用其相反数(负数)，请完成图⑵中空白的判断框①处的填写，并说明输出数值和的统计意义.‎ ‎【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）50.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）将男选手成绩由好到差编为1～24号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则男选手分为段，每段抽取1人，则其中成绩在区间上的恰有4段，每段1人，可得成绩在区间上的选手人数为4（Ⅱ）男选手的成绩数据用正数，女选手的成绩数据用其相反数(负数)，所以可得条件①处填写 ‎，M表示对男选手的成绩进行累加，W表示对女选手的成绩的相反数进行累加，所以表示50位选手的总成绩， 故的统计意义：50名选手的平均成绩. 所以输出数值的统计意义：24名男选手的平均成绩 .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意，男选手分为段，每段抽取1人，‎ 其中成绩在区间上的恰有4段，每段1人， ‎ 成绩在区间上的选手人数为4. ‎ ‎（Ⅱ）①处填写 ‎ 表示对男选手的成绩进行累加， ‎ 所以输出数值的统计意义：24名男选手的平均成绩 ， 表示对男选手的成绩进行累加， 表示对女选手的成绩的相反数进行累加，所以表示50位选手的总成绩， ‎ 输出数值的统计意义：50名选手的平均成绩.‎ ‎19．已知双曲线的渐近线方程为，右焦点坐标为， 为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或..‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）双曲线右焦点坐标为可知双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，则，又， ，可得双曲线的标准方程（Ⅱ）联立，消去得， ，‎ 直线与双曲线恒有两个不同的交点， ， 且，①‎ 设和，则， ，即,代入， 可得关于 的不等式即可求解.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意，设双曲线的方程为，则 ‎，又， ，‎ 即双曲线的标准方程为. ‎ ‎（Ⅱ）联立，消去得， ，‎ 直线与双曲线恒有两个不同的交点，‎ ‎， 且，①‎ 设和，则，‎ ‎ ，‎ 即， ，②‎ 综上①②得， 或.‎ ‎20．从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名，将其成绩整理后，绘制频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为： ， ， ， ， ， .‎ ‎（Ⅰ）试求图中的值，并计算区间上的样本数据的频率和频数；‎ ‎（Ⅱ）试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩（结果精确到）.‎ 注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表 ‎【答案】（Ⅰ）70；（Ⅱ）70.5.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率和为1，即矩形面积和为1可得 ‎，所以区间上的样本数据的频率为，频数为. （Ⅱ）‎ 根据样本的频率分布直方图，众数在的中点处，熟记中位数平均数的公式求出中位数和平均数 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由图可知，‎ ‎， . ‎ 区间上的样本数据的频率为 ‎．‎ 频数为． ‎ ‎（Ⅱ））∵频率最高的是，估计众数为，而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标，出现在内，设为 所以中位数为． ‎ 平均成绩为：‎ ‎ ‎ ‎(结果精确到0.1)‎ ‎21．已知点为抛物线： 的焦点，点为抛物线上一定点。‎ ‎（1）直线过点交抛物线于、两点，若，求直线的方程；‎ ‎（2）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值。‎ ‎【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）依题意，点的坐标为.设直线的方程为，‎ 联立方程组： ，消去并整理得： ，设，则故解得，写出直线的方程（2）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，设直线的斜率为 ‎，则直线的斜率为.令，联立方程组： ，消去并整理得： 设，因为点的坐标为，所以，故，用-t去换点P坐标中的t可得点的坐标为，计算直线的斜率即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，点的坐标为.设直线的方程为，‎ 联立方程组： ，消去并整理得： ‎ 设，则 故，解得： .‎ 故直线的方程为，或.‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，‎ 联立方程组： ，消去并整理得： ‎ 设，因为点的坐标为，所以，故，‎ 从而点的坐标为，用-t去换点P坐标中的t可得点的坐标为，所以直线的斜率为 ‎ 点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，熟练掌握弦长公式注意计算的准确性，由抛物线上的点作两条倾斜角互补的直线，可得两条直线的斜率互为相反数，设为，- ，在联立直线与抛物线时本题巧妙的设可简化运算，处理方法值得借鉴 ‎22．已知是圆上任意一点，过作轴的垂线段， 为垂足.当点在圆上运动时，线段中点的轨迹为曲线（包括点和点），为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线相切，且与圆相交于两点，当的面积最大时，试求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或或或.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设线段中点， ，则，即，代入，包括点和点，得，即得曲线的方程. （Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，不合题意，故设方程为，联立，得，因为直线与曲线相切，所以. 又点到直线的距离为，且，表示即得解.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设线段中点， ，则，即，‎ 代入，包括点和点，‎ 得， 曲线的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，不合题意，故设方程为，‎ 联立，得，‎ ‎， . ‎ 又点到直线的距离为，且，‎ ‎，‎ 当即时， 的面积最大为4，‎ ‎ ，解得， ， ‎ 此时直线有4条，方程为或.（或一般方程为：‎ 或或或）‎ 点睛：本题第一问考查了轨迹方程的求法，利用相关点法；第二问考查了直线与圆锥曲线的位置关系，直线与椭圆相切，则判别式等于0，直线与圆相交得到的三角形面积利用弦长及圆心到直线的距离可表示，构建二次函数可求最值，要注意计算的准确性.‎