2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版） 12页

‎2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题 ‎1．若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A． ，则当a=0或者b=0时，结论就不成立了，故选项不对。‎ B．当a=0或者b=0时，结论不成立了；或者当两者都不为0时，不等号不同向，不能直接相加，故不一定有，故选项不对。‎ C．当， ，故结果不对。‎ D．由重要不等式得到在R上成立选项正确。‎ 故答案为D。‎ ‎2．不等式的解集为（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】不等式， 解得 ‎ ‎ 。‎ 故答案为A。‎ ‎3．等差数列中， ，则的值为（ ）‎ A. 12 B. 18 C. 9 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得到， ，由条件知 。‎ 故答案为B。‎ ‎4．中，角所对的边分别为， 表示三角形的面积，且满足，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在△ABC中，∵S==acsinB，cosB=．代入原式子得到，tanB=，∵B∈（0，π），‎ ‎∴B= ．‎ 故答案为B。‎ ‎5．已知数列的前项和为， ，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列的前项和为， ，‎ 代入，得到 ，求数列的前项和，可以分组求和，分为一个等比数列和一个等差数列。 ‎ ‎ ‎ 故答案为C。‎ ‎6．不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式等价于 .‎ 故答案为D。‎ ‎7．在中，角所对的边分别为， ， ， ，则等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由余弦定理，可得，即，‎ 即，即，解得或，故选C．‎ ‎【考点】余弦定理及其应用．‎ ‎8．在数列中， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在数列中，故 ‎ ， ‎ 故答案为A。‎ ‎9．在60米高的山顶上，测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°，则河流的宽度为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】B ‎【解析】过A作CB延长线的高，垂足为D，‎ 由题意可知∠ABD=75°，∠ACB=30°，AD=60，‎ ‎∴BD==60（2﹣），‎ CD==60，‎ ‎∴BC=CD﹣BD=120（﹣1）．‎ 故答案为：120（﹣1）．‎ 故答案选B。‎ ‎10．已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式画出可行域，得到三条直线交于三点，‎ 目标函数化简可得 ，根据图像得到当目标函数过点B时，有最小值2，此时 ‎ 故答案为C。‎ 点睛：这个题目考查的是线规问题，目标函数是线性的，截距式。常见的目标函数有截距式，斜率式，距离式，面积式，点线距式，解决的方法就是通过变形，发现目标函数是哪一类型，对应求最值即可。注意可行域中直线是实线还是虚线，关系到最值能否取到。‎ ‎11．设，对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界.若，且，则的上确界为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵=+=+≥+2=‎ ‎，（当且仅当，即a=，b=时取到等号）‎ ‎∴≤﹣（当且仅当，即a=，b=时取到上确界）‎ 故答案选：B．‎ 点睛：本题考查了学生的知识迁移能力，理解题干中的知识并学以致用；这是二元问题；一般解决二元问题常用的方法有：基本不等式的应用；二元化一元的方法，需要求两个变量有等量关系；线性规划的方法；变量集中。‎ ‎12．设数列的前项和，若，且，则等于（ ）‎ A. 5048 B. 5050 C. 10098 D. 10100‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由，则，两式相减，可得，又因为，所以，所以 ‎，故选C．‎ ‎【考点】数列求和．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解是解得的关键．‎ 二、填空题 ‎13．已知数列， ， ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知数列， ， ， ‎ 代入n=17，得到。‎ 故答案为： 。‎ ‎14．已知，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】已知，故， =成立的条件为 ‎ 故答案为： ‎ ‎15．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份为__________磅．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设此等差数列为{an}，公差为d，则 ‎ ‎（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，‎ 故答案为： ．‎ ‎16．如图，在中，线段上的点满足， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设AC=x，CD=y，则AB=3x，BC=3y；‎ ‎∴cosA ‎ 化简得x2=y2；‎ ‎ ‎ ‎= 原题是这个的相反数，故得到 ‎ 故答案为： ．‎ 点睛：本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是综合题．解三角形的题目，如果题目中的条件是两角一边，或两角和一个对边，那么用正弦定理解题的可能性较大；如果给的是两边和夹角，那么通常情况下就是余弦定理的应用了。‎ 三、解答题 ‎17．在中， ， ， 是边上一点，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长及的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）9．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得到，可以求出，根据角的互补关系，得到；（2）先由余弦定理得到，由第一问知道夹角，可由正弦定理得到。‎ ‎（I）在中由正弦定理得，‎ ‎∴，又∵，∴ ‎ ‎∵,∴∴.‎ ‎∴.‎ ‎（II）由余弦定理可知： ∴‎ ‎18．已知等差数列的前项和为，满足， .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知等差数列这一概念，可以化成基本量，最终求得通项公式；（2）根据第一问可得，由式子的正负，去掉绝对值， ，对两段式子分别求和即可。‎ ‎（I）由题意知， ,①‎ ‎，即 所以②‎ ‎∴ 所以 ‎（II）令 ‎，‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时， .‎ 当时， ‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若， 的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先利用诱导公式和正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式进行求解；（2）利用余弦定理和面积公式进行求解.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理可得： ，‎ ‎∴.‎ 又角为内角， ，∴‎ 又，∴‎ ‎（2）有，得 又，∴，‎ 所以的周长为．‎ ‎20．已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（I）（II）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据不等式的解集得到，从而得到；（2）由第一问可知解即可，因式分解得，讨论两根大小，最终分情况讨论即可。‎ ‎（I）由题意知， 是方程的两个实根，‎ ‎∴，解得，∴ .‎ ‎（II）由（I）知，不等式可化为，‎ 即 ‎① 当时，不等式的解集为，‎ ‎②当时，不等式为，因为，所以解集为；‎ 综上，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ 点睛：这个题目考查的是二次函数的不等式问题；在解二次函数不等式的时候，一般先看二次项系数是否为参数，如果为参数先考虑参数是0；参数不是0的时候，再看式子能否因式分解，之后再比较两根大小，结合图像求得不等式的解集。‎ ‎21．莫数学建模兴趣小组测量某移动信号塔的高度（单位： ），如图所示，垂直放置的标杆的高度，仰角， .‎ ‎（Ⅰ）该小组已经测得一组的值， ， ，请推测的值；‎ ‎（Ⅱ）该小组对测得的多组数据分析后，发现适当调节标杆到信号塔的距离（单位： ），使得较大时，可以提高信号塔测量的精确度，若信号塔高度为，试问为多大时， 最大？‎ ‎【答案】（I）（II）当时， 为最大. ‎ ‎【解析】本题在直角三角形中用到三角函数定义， ，‎ 为多少时， 最大，通常角的大小转化为三角函数值的大小问题，进而转化为边的关系 解：（1）由题意，知 又因为所以 即……………4分 ‎（2）由题意，知 由得. ……………6分 故 ‎……………8分 ‎（当且仅当， 时上式取等号）‎ 所以，当时， 最大. ……………9分 又因为，则.所以时， 最大.‎ 故，所求是时， 最大.‎ ‎22．已知数列是首项为，公比的等比数列，设， ，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列， 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）设数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I）,（II） (Ⅲ) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等比数列的概念和通项可得。代入得到；（2）。根据错位相减求和即可；（3）根据等比数列求和得到，不等式转化为恒成立，根据单调性，求左式的最小值即可。‎ ‎（I）又题意得： ‎ ‎∴ ‎ ‎（II）又，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎∴，‎ ‎(Ⅲ) ，‎ ‎∴对任意，不等式恒成立 即恒成立，即恒成立，‎ 令， ，‎ ‎∴关于单调递减，∴，∴ ，‎ ‎∴的取值范围为.‎ 点睛：这个题目考查了等比数列和等差数列的综合性质应用，恒成立求参的问题；数列求和经常采用的方法是：错位相减，一般适用于等差等比综合的；裂项相消，适用于分式型的；分组求和，适用于数列中相邻几项之和或差是定值的。‎