江苏省无锡市2019-2020学年高二数学下学期期末考试限时训练（三）（Word版附答案） 8页

1 2020 年下学期无锡期末考试高二数学备考限时训练（三） 本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟 一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共计 24 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数 z 满足 1 3i 1z    ，则 z 的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义在 R 上的可导函数 ( )f x 满足 ( ) 1f x  ，若 ( ) (1 2 ) 3 1f m f m m    ，则 m 的 取值范围是 A．( ，﹣1] B．( ， 1 3 ] C．[﹣1， ) D．[ 1 3 ， ) 3．已知正态密度曲线的函数关系式是 2 2 ( ) 21( ) e 2 x f x      ，设有一正态总体，它的概率 密度曲线是函数 ( )f x 的图象，且 2( 10) 81( ) e 8 x f x    (xR)，则这个正态总体的平均 数  与标准差 分别是 A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10 4．如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，DC＝2，DA＝DD1 ＝1，点 M、N 分别为 A1D 和 CD1 上的动点，若 MN∥平面 AA1C1C，则 MN 的最小值为 A． 5 3 B． 5 2 C． 5 6 D． 2 3 5．已知函数 ( ) lnf x x ax b   ，对于任意的 a＜0，bR，都存在 0x [1，m]使得 0( )f x ≥1 成立，则实数 m 的取值范围是 A．[ 2e ， ) B．[ e ， ) C．[ e ， 2e ] D．(1， 2e ] 6．今有 6 个人组成的旅游团，包括 4 个大人，2 个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观 光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘 3 人，为了安全起见，小孩乘缆 车必须要大人陪同，则不同的乘车方式种数有 A．204 B．288 C．348 D．396 二、多项选择题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共计 10 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 7．独立性检验中，为了调查变量 X 与变量 Y 的关系，经过计算得到 P(K2≥6.635)＝0.01， 表示的意义是 A．有 99%的把握认为变量 X 与变量 Y 没有关系 B．有 1%的把握认为变量 X 与变量 Y 有关系 C．有 99%的把握认为变量 X 与变量 Y 有关系 D．有 1%的把握认为变量 X 与变量 Y 没有关系 第 4 题 2 8．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球．先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白 球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件， 则下列结论中正确的是 A．P(B)＝ 2 5 B．P(B|A1)＝ 5 11 C．事件 B 与事件 A1 相互独立 D．A1，A2，A3 是两两互斥的事件 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．已知变量 x，y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数 x ＝4， y ＝5，线性回归方程 y bx a  中的系数 b，a 满足 b＋a＝4，则线性回归方程为 ． 10．已知 a，b，c 均为正实数，若(abc＋4)(a＋bc)＝  abc，则实数  的最小值为 ． 11．若 6 2 6 0 1 2 6(2 1) ( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x         ，则 0 1 2 3 42 3 4a a a a a    5 65 6a a  ＝ ． 12．已知函数 2( )f x x a x   ， 2 ln( ) xg x x  ，若方程 ( ( )) 1f g x  有 4 个不等实根，则 实数 a 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 4 小题，共计 46 分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 13．（本题满分 8 分） 如图①，在平行四边形 ABCD 中，BD⊥CD，BE⊥AD，将△ABD 沿对角线 BD 折起使 AB⊥BC，连接 AC、EC，得到如图②所示的三棱锥 A—BCD．若 ED＝1，二面角 C—BE —D 的平面角的正切值为 6 ，求直线 BD 与平面 ADC 所成角的正弦值． 14．（本题满分 12 分） 记 2 1 2 2 +1 0 1 2 2 1(1 2 ) n n nx a a x a x a x       ， Nn  ． （1）求 0 1 2 2 1na a a a     ； （2）设 ( 2)k k ka b  ，求和： 0 1 2 2 11 2 3 ( 1) (2 2)k nb b b k k n b               ． 3 15．（本题满分 12 分） 2018 年 3 月份，上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》， 4 月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划（2018—2020 年）》，提出到 2020 年底，基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为 加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃 圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园 贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者． （1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分 社区居民进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢担任垃 圾分类志愿者占男性居民的 3 5 ，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 1 5 ， 若研究得到在犯错误概率不超过 0.010 的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别 有关，则被调查的女性辱民至少多少人？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． P( 2 0K k ) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）某垃圾站的日垃圾分拣量 y（千克）与垃圾分类志愿者人数 x（人）满足回归直线 方程  y bx a  ，数据统计如下： 志愿者人数 x（人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量 y（千克） 25 30 40 45 t 已知 5 1 1 405 i i y y    ， 5 2 1 90i i x   ， 5 1 885i i i x y   ，请利用所给数据求 t 和回归直线 方程  y bx a  ； 附： 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x          ， a y b x   ． （3）用（2）中所求的线性回归方程得到与 ix 对应的日垃圾分拣量的估计值 iy ．当分 拣数据 iy 与估计值 iy 满足  2iiy y  时，则将分拣数据( ix ， iy )称为一个“正常数据”．现 从 5 个分拣数据中任取 3 个，记 X 表示取得“正常数据”的个数，求 X 的分布列和数学期 望． 4 16．（本题满分 14 分） 已知函数 2( ) (1 )f x ax a x    ， 21( ) ln 2g x x x ax x   ． （1）当 a(﹣e，0]（其中 e 为自然对数的底数）时，记函数 ( )g x 的最小值为 m． 求证： 31 2em    ； （2）记 ( ) ( ) ( ) 2lnh x g x f x x   ，若函数 ( )h x 有两个不同零点，求实数 a 的取值 范围． 5 参考答案 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．CD 8．BD 9．  1 11 3 3y x  10．8 11．13 12．( ， 12 2e e   ) ( 12 2e e  ， ) 13．解： 14．（1） （2） 6 15． 7 16．解：（1）因为 ( ) lng x x ax   ，所以 1 1( ) axg x ax x     . 当 ( e 0]a  ， 时， [0 e)a  ， ， 所以 1 1( ) 0axg x ax x      恒成立， 所以 ( ) lng x x ax   在（0，+∞）上单调递增. 因为 1 e(1) ( ) 1 0e e e a ag a g         ≥0， ， 所以 0 1 1ex   ，，使得 0( ) 0g x  .，即 0 0ln 0x ax  . 所以当 00 x x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减； 当 0x x 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增. 从而 2 0 0 0 min 0 0 0 0 0 ln( ) ( ) ln 2 2 ax x xm g x g x x x x x       . 令 ln 1( ) 12 e x xx x x    ， ， ，则 ln 1( ) 02 xx    . 所以 ln( ) 2 x xx x   在 1 1e  ， 单调递减， 因此 ( ) (1) 1x  ≥ ， 1 3( ) ( )e 2ex    . 所以 31 2em  ≤ . （2） 因为 2( ) (1 )f x ax a x    ， 21( ) ln 2g x x x ax x   ， 所以 2( ) ( ) ( ) 2ln ( 1) ln 1 1 2lnh x g x f x x ax a x x ax x           ， 即 2( ) lnh x ax x x   . 所以 21 2 1( ) 2 1 ax xh x ax x x       ， 当 0a ≤ 时， ( ) 0h x  在 (0 )， 上恒成立，则 h(x)在 (0 )， 上单调递减， 故 h(x)不可能有两个不同的零点. 8 当 0a  时， 2 2 ln( ) x xh x x a x      ，令 2 ln( ) x xF x a x   ， 则函数 ( )h x 与函数 ( )F x 零点相同. 因为 3 1 2 ln( ) x xF x x    ，令 ( ) 1 2lnG x x x   ， 则 2( ) 1 0G x x     在 (0 )， 上恒成立，因为 (1) 0G  ，则 x (0 1)， 1 (1 )， ( )F x - 0 + ( )F x 递减 极小值 递增 所以 ( )F x 的极小值为 (1) 1F a  ， 所以要使 ( )F x 由两个不同零点，则必须 (1) 1 0F a   ， 所以 a 的取值范围为  0 1， . 因为 (1) 0F  ， 1( ) 0eF  ，又 ( )F x 在  0 1， 内连续且单调， 所以 ( )F x 在  0 1， 内有唯一零点. 又         2 2 2 2 2 22 2ln2 0 2 2 a a a aa aF aa a a        ，且 2 1a  ， 又 ( )F x 在  1 +， 内连续且单调，所以 ( )F x 在  1 +， 内有唯一零点. 所以满足条件的 a 的取值范围为  0 1， .