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- 2023-12-23 发布
2016-2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．
1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
3．抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（ ）
A． B． C．4 D．2
4．阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A．6 B．18 C．27 D．124
5．“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一抛物线形拱桥，当水面宽4米时，水面离拱顶2米，若水面下降1米，则水面的宽为（ ）
A．米 B．2米 C．6米 D．8米
7．如图，E，F分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M为EF的中点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣ ﹣+ B． ++ C． ﹣+ D．﹣ ++
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（ ）
A．3 B． C．4 D．
12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．
13．把八进制数（102）（8）转化为三进制数为（ ）（3）．
14．某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是 ．
15．双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为 ．
16．已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2+mx+m）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）若p为真，求m的范围；
（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．
18．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，F（﹣2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为x﹣y=0．
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．
19．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]
之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
20．（12分）已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．
21．（12分）如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．
22．（10分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：
零件个数x（个）
1
2
3
4
加工时间y（小时）
2
3
5
8
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）现需生产20件此零件，预测需用多长时间？
（参考公式： =， =﹣x）
2016-2017学年福建省三明一中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．
1．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，2x＞0 B．∃x∈R，2x≤0 C．∀x∈R，2x＜0 D．∀x∈R，2x≤0
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．
【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．
故选：B．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．
2．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【考点】收集数据的方法．
【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．
【解答】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，
②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，
③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，
故选A．
【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．
3．抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为（ ）
A． B． C．4 D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将抛物线的方程转化成标准方程，则抛物线的焦点在y轴上，即2p=4，p=2，焦点与准线的距离为p=2．
【解答】解：将抛物线y=﹣x2转化成标准方程：x2=﹣4y，则抛物线的焦点在y轴上，即2p=4，p=2，
焦点（0，﹣1），准线方程为y=1，
焦点与准线的距离为p=2，
故选D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线焦点到准线的距离，属于基础题．
4．阅读如右图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A．6 B．18 C．27 D．124
【考点】程序框图．
【分析】运行程序，即可得出结论．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
s=1，n=2；s=3•2=6，n=3；s=（6+3）•3=27，n=4，退出循环，
故选C．
【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
5．“m＜0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出﹣=1表示的曲线是双曲线的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：若﹣=1表示的曲线是双曲线，
则m（m﹣1）＞0，解得：m＞1或m＜0
故m＜0是m＞1或m＜0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查双曲线的定义，是一道基础题．
6．一抛物线形拱桥，当水面宽4米时，水面离拱顶2米，若水面下降1米，则水面的宽为（ ）
A．米 B．2米 C．6米 D．8米
【考点】抛物线的应用．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，
故水面宽为2米．
故选：B
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．属于中档题．
7．如图，E，F分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M为EF的中点，若=， =， =，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣ ﹣+ B． ++ C． ﹣+ D．﹣ ++
【考点】空间向量的加减法．
【分析】利用向量平行四边形法则即可得出．
【解答】解： =，，，
∴=++，
故选：B．
【点评】本题考查了向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【考点】极差、方差与标准差；分布的意义和作用；众数、中位数、平均数．
【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论．
【解答】解： =×（4+5+6+7+8）=6，
=×（5+5+5+6+9）=6，
甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，
以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式，同时考查了计算能力，属于基础题．
9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF2|+|BF2|的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意方程求得椭圆的半焦距，结合椭圆定义求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，则|AF2|+|BF2|=8﹣|AB|，再求出当AB垂直于x轴时的最小值，则|AF2|+|BF2|的最大值可求．
【解答】解：由题意可知：椭圆+=1焦点在x轴上，a=2，b=，c=1，
由椭圆的定义可知：|AF2|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，则|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，
|AF2|+|BF2|=8﹣|AB|，
∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，
当x=﹣c=﹣1， +=1，解得：y=±，
∴|AB|min=3，
∴|AF2|+|BF2|的最大值为8﹣3=5．
【点评】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆通径的求法，考查计算能力，属于基础题．
10．掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】
由已知掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记为（m，n），共有36种可能，而由数量积则θ∈（0，]的，n范围是m﹣n≥0并且m+n≠0，由几何概型公式得到所求．
【解答】解：解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记（m，n）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件
若θ∈（0，]，则m≥n，则满足条件的（m，n）有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2）
（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3）
（6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件
则P=；
故选C．
【点评】本题主要考查古典概型概率求法，用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角；解答本题的关键是明确概率模型，分别求出所有事件以及满足条件的事件个数，利用公式解答．
11．过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，2|AF|=|BF|+|BA|，则|AB|=（ ）
A．3 B． C．4 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意可设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B的纵坐标的乘积，结合2|AF|=|BF|+|BA|，求得A，B的纵坐标，则|AB|可求．
【解答】解：由抛物线x2=4y，得F（0，1），
若直线l⊥x轴，不合题意；
设直线l的方程为y=kx+1，
代入x2=4y，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=4k2+2，y1y2=1，①
∵|BF|+|BA|=2|FA|，∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|，
∴|FA|=2|BF|，
即y1+1=2（y2+1），即
代入①得，∴y1=2，
则|AB|=．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
12．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则当e1e2取最小值时，e1，e2分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），（a1＞0，b1＞0），利用定义可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解出m，n．利用余弦定理可得关于e1，e2的等式，再由基本不等式求得当e1e2取最小值时，e1，e2的值．
【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（a＞b＞0），
（a1＞0，b1＞0），
设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．
则m+n=2a，m﹣n=2a1，
∴m=a+a1，n=a﹣a1．
cos=，
化为： =（a+a1）（a﹣a1）．
∴﹣4c2=0，
∴，
∴4≥2，则，即，当且仅当e1=，e2=时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．
13．把八进制数（102）（8）转化为三进制数为（ 2110 ）（3）．
【考点】进位制．
【分析】首先把八进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以8的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以3，倒序取余即得三进制数．
【解答】解：102（8）=1×82+0×81+2×80=66（10）
66÷3=22…0
22÷3=7…1
7÷3=2…1
2÷3=0…2
故102（8）=2110（3）
故答案为：2110．
【点评】本题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的，考查了转化思想，属于基础题．
14．某中学调查200名学生每周晚自习时间（单位，小时），制成了如图所示频率分布直方图，其中自习时间的范围为[17.5，30]，根据直方图，这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是 140 ．
【考点】频率分布直方图．
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故答案为：140
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
15．双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为 60° ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．
【解答】解：双曲线﹣x2=1的两条渐近线的方程为：y=±x，
所对应的直线的倾斜角分别为60°，120°，
∴双曲线双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
16．已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】四边形ABCD面积=S△ABD+S△ABC，AC是固定的直线，可判断两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，此时h1，h2最大，面积最大时，利用导数求出D（2，）
再利用对称性得出C（﹣2，），|AC|=5，最后利用点到直线的距离，求出即可．
【解答】解：∵A、B是椭圆+=1的两个顶点，
∴A（4，0），B（0，3），
∴直线AB的方程为：3x﹣4y﹣12=0，
当如图两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，
此时四边形ABCD面积最大值：S=AC（h1+h2），kAC=
y=3，
y′==
x=2，y=，D（2，）
根据对称性可知：C（﹣2，），|AC|=5
h1=，h2=，
S=AC（h1+h2）=××=
【点评】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置故关系，利用数形结合的思想判断出最值的位置，再利用导数求解，即可得需要的点，用公式求解即可．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2016秋•三元区校级期中）已知命题p：函数f（x）=lg（x2+mx+m）的定义域为R，命题q：函数g（x）=x2﹣2x﹣1在[m，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）若p为真，求m的范围；
（Ⅱ）若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（Ⅰ）根据对数函数以及二次函数的性质得到关于m的不等式，解出即可；
（Ⅱ）求出q为真时的m的范围，根据p，q中一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）若p为真，x2+mx+m＞0恒成立，…（1分）
所以△=m2﹣4m＜0，…（2分）
所以0＜m＜4．…
（Ⅱ）因为函数g（x）=x2﹣2x﹣1的图象是开口向上，对称轴为x=1的抛物线，
所以，若q为真，则m≥1．…
若p∨q为真，p∧q为假，则p，q中一真一假； …（6分）
∴或，…（10分）
所以m的取值范围为{m|0＜m＜1或m≥4}．…（12分）
【点评】本题考查了对数函数、二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．
18．（12分）（2016秋•三元区校级期中）已知双曲线C的中心在坐标原点，F（﹣2，0）是C的一个焦点，一条渐进线方程为x﹣y=0．
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点，求k的值．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设双曲线方程为﹣=1，a＞0，b＞0，依题意，，解得即可，
（Ⅱ）联立方程组，消元，根据判别式即可求出k的值．
【解答】解：（Ⅰ）设双曲线方程为﹣=1，a＞0，b＞0，
依题意，，
解得，所以双曲线方程x2﹣=1，
（Ⅱ）联立得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4=0，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以3﹣k2=0或△=（﹣2k）2+16（3﹣k2）=0，
即k2=4或k2=3，
所以k=±或k=±2．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，以及直线和双曲线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．
19．（12分）（2012•莆田二模）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．
【分析】（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；
（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；
（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件
得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；
（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；
（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，
由条件得到的区域为图中的阴影部分
由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1
∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=
∴该代表中奖的概率为=．
【点评】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．
20．（12分）（2016秋•三元区校级期中）已知曲线C上的任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，直线l过点A（1，1），且与C交于P，Q两点；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若A为PQ的中点，求三角形OPQ的面积．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，可知曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可求三角形OPQ的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．
∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线
∴曲线C的方程为y2=4x．…
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=2
因为y12=4x1，y22=4x2，
所以作差，可得直线l斜率为2，…（6分）
所以直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．
此时直线l与抛物线相交于两点．…（7分）
设T为l与x的交点，则|OT|=，…（8分）
由y=2x﹣1与y2=4x，消去x得y2﹣2y﹣2=0，…（9分）
所以y1+y2=2，y1y2=﹣2，…（10分）
所以三角形OPQ的面积为S=|OT||y1﹣y2|=．…（12分）
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是正确运用抛物线的定义，正确运用韦达定理．
21．（12分）（2016春•苏州期末）如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==﹣，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；
②由题意可得C（x2，﹣y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=（3+4y1y2），（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，
解得a=2，b=，
可得椭圆标准方程为+=1；
（2）①由题意可得k1k2==﹣，
即为x12x22=16y12y22，
又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，
可得4y12=8﹣x12，4y22=8﹣x22，
即有x12x22=（8﹣x12）（8﹣x22），
化简可得x12+x22=8；
②由题意可得C（x2，﹣y2），
由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
可得y12+y22==，
由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，
由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，
可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），
由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，
则直线AC的斜率为kAC==±=±．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线的斜率的求法，注意运用点满足椭圆方程，直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22．（10分）（2016秋•三元区校级期中）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集的数据如下：
零件个数x（个）
1
2
3
4
加工时间y（小时）
2
3
5
8
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）现需生产20件此零件，预测需用多长时间？
（参考公式： =， =﹣x）
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）分别求出，，代入公式计算即可；（Ⅱ）将x=20代入=2x﹣0.5，计算即可．
【解答】解：（Ⅰ） ==2.5， ==4.5，…（2分）
==2，