数学理卷·2019届吉林省长春外国语学校高二下学期第一次月考（2018-03） 7页

长春外国语学校2017-2018学年第二学期高二年级第一次月考 数学理科试卷 第Ⅰ卷 一、选择题(本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.复数的共轭复数是（ ）‎ A．-1 B．+1 C. -1- D. 1-‎ ‎3.已知命题若，则；命题若，则.在命题①；②；③；④中真命题的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎4.若复数满足，则（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎5.已知复数z满足，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎7. 用数学归纳法证明假设时成立,当时,左端增加的项数是（ ）‎ A．1项 B．项 C．项 D．项 ‎8.下列命题中为真命题的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆命题 B．命题“若，则”的否命题 C．命题“若，则”的逆否命题 D．命题“若，则”的逆命题 ‎9.“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B． 充要条件 C． 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎11．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， ，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则（ ）‎ A．35 B. 48 C. 63 D. 80‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(本题共4小题，每小题5分)‎ ‎13.用反证法证明命题“若可被5整除，则中至少有一个能被5整除”，反设的内容是 　　.‎ ‎14．若“”为真命题，则实数的最大值为________.‎ ‎15．将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 　. ‎ ‎ ‎ ‎16.给出下列四个命题：‎ ‎①若，且，则；‎ ‎②设，命题“若，则”的否命题是真命题；‎ ‎③函数图象的一条对称轴是直线；‎ ‎④若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有 ‎．其中，所有正确命题的序号是_________________．‎ 三、解答题(本题共70分，其中17题10分，18至22题每题12分)‎ ‎17．计算下列各式： ‎ ‎（1）； （2）‎ ‎18．已知：实数满足，其中，：实数满足 ‎（1）当，且为真时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎19．为何实数时，复数 在复平面内所对应的点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．‎ ‎20.已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、（如图1），则.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明.‎ ‎ ‎ ‎21．在数列中，且.‎ ‎（1）求出，，；‎ ‎（2）归纳猜想出数列的通项公式；‎ ‎（3）用数学归纳法证明通项公式.‎ ‎22.设：对任意的都有，：存在，使，如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C B C B D D A B C C 二、填空题 ‎13. 都不能被5整除 14. 0 15. 91 16. ②④‎ 三、解答题 ‎17. 【解析】 （1）；（2）‎ ‎18.【解析】‎ ‎（1）当时，对应的解集为，；‎ 对应解为，因为且为真，所以，都真，‎ ‎（2），的解为，对应解为，是 的充分不必要条件，即，则，即对应的集合是对应集合的子集，，所以.‎ ‎19. 【解析】‎ ‎（1）若复数所对应的点在实轴上则，则；‎ ‎（2）若复数所对应的点在虚轴上则，则；‎ ‎（3）若复数所对应的点在第四象限 ‎20. 【解析】‎ 命题：长方体中(如图2)，对角线与棱、、所成的角分别为，则.‎ 证明：∵， ，，‎ ‎∴.（此题答案不唯一）‎ ‎21. 【解析】‎ ‎ （1），，（2）（3）数学归纳法证明如下：‎ ‎22. 【解析】‎ 由题意：对于命题，∵对任意的，∴，即；对于命题，∵存在，使，‎ ‎∴,即或. ∵为真，为假，‎ ‎∴一真一假，①真假时，, ②假真时，.‎ 综上，.‎