2020高考数学二轮复习练习：第二部分 54分专项练 54分专项练（四） 18、19、20、21含解析 6页

‎54分专项练(四)　18、19、20、21‎ ‎1．已知正项数列{an}满足：a1＝2，an＋an－1＝＋2(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)设数列{bn}满足bn＝(an－1)2－n2，证明：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项．‎ ‎2．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ccos A＋3acos C＝0，tan(2 019π＋2A)＝.‎ ‎(1)求tan C的大小；‎ ‎(2)若C为钝角且c＝，求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎3．如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝3，AC＝2，点E是PD的中点．‎ ‎(1)求证：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．‎ ‎(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A和材料B的选择有关？‎ A材料 B材料 合计 成功 不成功 合计 ‎(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？‎ 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎54分专项练(四)　18、19、20、21‎ ‎1．解：(1)由已知可得a2＋a1＝＋2，因为a1＝2，‎ 所以a－22＝3＋2(a2－2)，即a－2a2－3＝0，‎ 因为a2>0，所以a2＝3.‎ 又a3＋a2＝＋2，a2＝3，‎ 所以a－9＝5＋2(a3－3)，即a－2a3－8＝0，‎ 因为a3>0，所以a3＝4.‎ 故a2＝3，a3＝4.‎ ‎(2)证明：由已知条件可知，a－a＝2(an－an－1)＋2n－1，‎ 所以(an－1)2－(an－1－1)2＝n2－(n－1)2，‎ 则(an－1)2－n2＝(an－1－1)2－(n－1)2＝…＝(a2－1)2－22＝(a1－1)2－12＝0，‎ 而bn＝(an－1)2－n2，‎ 所以bn＝0，数列{bn}为等差数列．‎ 所以(an－1)2＝n2，而an>0，‎ 故an＝n＋1.‎ ‎2．解：(1)因为ccos A＋3acos C＝0，所以sin Ccos A＋3sin A·cos C＝0.又cos Acos C≠0，所以tan C＝－3tan A.‎ 因为tan(2 019π＋2A)＝，所以tan 2A＝，所以＝，解得tan A＝或tan A＝－3.‎ ‎①若tan A＝，则tan C＝－3tan A＝－3×＝－；‎ ‎②若tan A＝－3，则tan C＝－3tan A＝－3×(－3)＝9.‎ 故tan C的值为－或9.‎ ‎(2)因为C为钝角，所以由(1)知tan C＝－，又因为0c＝，所以a＋b∈(，2]．‎ 所以△ABC的周长的取值范围是(2，2＋]．‎ ‎3.解：(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF.由平面ABCD为平行四边形，可知F为BD的中点．‎ 在△PBD中，因为E，F分别为PD，BD的中点，所以EF∥PB.‎ 又EF⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)由题意知，AC，AB，AP两两垂直，如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，‎ 则A(0，0，0)，B(0，3，0)，C(2，0，0)，D(2，－3，0)，P(0，0，3)，E，所以＝(2，0，0)，＝.‎ 设M(x0，y0，z0)，＝λ(0<λ<1)，‎ 则(x0，y0，z0－3)＝λ(0，3，－3)，得M(0，3λ，3－3λ)，所以＝(0，3λ，3－3λ)．‎ 设平面AEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由 得取y1＝1，得n1＝(0，1，1)．‎ 设平面MAC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ 由得 取z2＝1，得n2＝.‎ 设二面角MACE的大小为θ，‎ 则cos θ＝＝＝，‎ 化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝或λ＝.‎ 因为二面角MACE的余弦值为，所以＝.‎ 故＝时，二面角MACE的余弦值为.‎ ‎4．解：(1)列联表如下：‎ A材料 B材料 合计 成功 ‎28‎ ‎20‎ ‎48‎ 不成功 ‎2‎ ‎10‎ ‎12‎ 合计 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ K2的观测值k＝≈6.7<7.879，‎ 所以没有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A和材料B的选择有关．‎ ‎(2)设X为一次生产出来的石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的取值可以是0，100，200，300，400，500，600，700，则 P(X＝0)＝×＝，P(X＝100)＝×＝，‎ P(X＝200)＝C×××＝，‎ P(X＝300)＝C×××＝，‎ P(X＝400)＝C×××＝，‎ P(X＝500)＝C×××＝，‎ P(X＝600)＝×＝，‎ P(X＝700)＝×＝.‎ 所以E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝.‎ 所以一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要元的修复费用．‎