九年级上数学（华师大版）导学案－23 3页

‎24.4　中位线 第1课时　三角形的中位线 学前温故 如图，在△ABC中，D为AB边的中点，且DE∥BC，则E为AC边的____．‎ 新课早知 ‎1．三角形的中位线____于第三边并且等于__________．‎ ‎2．如图，△ABC的中位线DE长为10，则BC＝__________.‎ ‎3．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是__________．‎ ‎4．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______．‎ ‎5．Rt△ABC中，点G是重心，∠C＝90°，AB＝‎12 cm，则GC＝__________ cm.‎ 答案：学前温故 中点 新课早知 ‎1．平行　第三边的一半 ‎2．20　3.矩形　4.　5.4‎ 三角形中位线 ‎【例题】 如图所示，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，点E是BC的中点．‎ 求证：(1)DE∥AB；(2)DE＝(AB－AC)．[来源:Z+xx+k.Com]‎ 分析：从要证的结论来看，与三角形中位线类似，而根据已知条件，E为BC的中点，而AD平分∠BAC，又CD⊥AD，则延长CD交AB于F，易证D为CF的中点，AC＝AF，从而问题得证．‎ 证明：(1)延长CD交AB于F，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠ADC＝∠ADF＝90°.‎ 又∵∠DAC＝∠DAF，AD＝AD，‎ ‎∴△ADC≌△ADF.∴AC＝AF，DC＝DF.‎ 又∵E是BC的中点，∴DE∥BF，即DE∥AB．[来源:学§科§网]‎ ‎(2)∵D、E分别是BC、CF的中点，‎ ‎∴DE＝BF.∴DE＝(AB－AF)＝(AB－AC)．‎ 点拨：在三角形中，涉及中点问题，常需转化为中位线来解决，其中构造中位线是关键，这就是常说的“遇中点，想到中位线”．‎ ‎1．在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝3，则△ABC的周长为(　　)．‎ A．6 B．‎9 ‎ C．18 D．24[来源:Zxxk.Com]‎ ‎2．如图，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于G，FG＝2，则CF的长为(　　)．‎ A．4 B．‎4.5 ‎ C．5 D．6‎ ‎3．如图，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积为‎3 cm2，则四边形DBCE的面积为__________．‎ ‎4．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝3，AD＝4，则EF的长为__________．‎ ‎[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎5．已知：在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点．[来源:Z_xx_k.Com]‎ 求证：四边形AFDE是平行四边形．‎ 答案：1．C ‎2．D　G是△ABC的重心，由“三角形重心与一边中点的连线的长度是对应中线长的 ”求解，即CF＝3FG＝6.‎ ‎3．‎9 cm2　由中位线的性质知，DE∥BC，且DE＝BC，‎ 所以△ADE∽△ABC，其相似比为1∶2，利用相似三角形的性质求得S△ABC＝‎12 cm2，从而S四边形DBCE＝‎9 cm2.‎ ‎4．2.5　利用勾股定理求得AR＝5，再利用三角形中位线定理求得EF＝AR＝2.5.‎ ‎5．证明：∵D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，‎ ‎∴DF、DE是△ABC的中位线．‎ ‎∴DF∥AC，DE∥AB，‎ 即DF∥AE，DE∥AF.‎ ‎∴四边形AFDE是平行四边形．‎