2014年高考真题——理科数学（天津卷） 解析版 19页

2014 年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分） 1．（ 5 分）（2014•天津）i 是虚数单位，复数 =（ ） A． 1﹣i B． ﹣1+i C． + i D． ﹣ + i 考点： 复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数 3﹣4i，即求出值． 解答： 解：复数 = = ， 故选 A． 点评： 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题． 2．（ 5 分）（2014•天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的 最小值为（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考点： 简单线性规划．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值． 解答： 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y=﹣ ， 平移直线 y=﹣ ，由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 B（1，1）时，直线 y= ﹣ 的截距最小，此时 z 最小． 此时 z 的最小值为 z=1+2×1=3， 故选：B． 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 3．（ 5 分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（ ） A． 15 B． 105 C． 245 D． 945 考点： 程序框图．菁优网版权所有 专题： 算法和程序框图． 分析： 算法的功能是求 S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的 i 值，计算输出 S 的值． 解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求 S=1×3×5×…×（2i+1）的值， ∵跳出循环的 i 值为 4， ∴输出 S=1×3×5×7=105． 故选：B． 点评： 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题 的关键． 4．（ 5 分）（2014•天津）函数 f（x）=log （x2﹣4）的单调递增区间为（ ） A． （0，+∞） B． （﹣∞，0） C． （2，+∞） D． （﹣∞，﹣2） 考点： 复合函数的单调性．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 令 t=x2﹣4＞0，求得函数 f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数 f（x） =g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数 t 在（﹣∞，﹣ 2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数 t 在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上 的减区间． 解答： 解：令 t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2， 故函数 f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 当 x∈（﹣∞，﹣2）时，t 随 x 的增大而减小，y=log t 随 t 的减小而增大， 所以 y=log （x2﹣4）随 x 的增大而增大，即 f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增． 故选：D． 点评： 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中 档题． 5．（ 5 分）（2014•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为（ ） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 考点： 双曲线的标准方程．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先求出焦点坐标，利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，可得 =2，结合 c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程． 解答： 解：∵双曲线的一个焦点在直线 l 上， 令 y=0，可得 x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0）， ∴c=5， ∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10， ∴ =2， ∵c2=a2+b2， ∴a2=5，b2=20， ∴双曲线的方程为 ﹣ =1． 故选：A． 点评： 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 6．（ 5 分）（2014•天津）如图，△ ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点 D， 交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结 论： ①BD 平分∠CBF； ②FB2=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF． 所有正确结论的序号是（ ） A． ①② B． ③④ C． ①②③ D． ①②④ 考点： 与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 专题： 直线与圆． 分析： 本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比 例，即可选出本题的选项． 解答： 解：∵圆周角∠DBC 对应劣弧 CD，圆周角∠DAC 对应劣弧 CD， ∴∠DBC=∠DAC． ∵弦切角∠FBD 对应劣弧 BD，圆周角∠BAD 对应劣弧 BD， ∴∠FBD=∠BAF． ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAF=∠DAC． ∴∠DBC=∠FBD．即 BD 平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△ FBD～△ FAB． 由 ，FB2=FD•FA．即结论②成立． 由 ，得 AF•BD=AB•BF．即结论④成立． 正确结论有①②④． 故答案为 D 点评： 本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度 不大，属于基础题． 7．（ 5 分）（2014•天津）设 a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 专题： 简易逻辑． 分析： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 解答： 解：若 a＞b， ①a＞b≥0，不等式 a|a|＞b|b|等价为 a•a＞b•b，此时成立． ②0＞a＞b，不等式 a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即 a2＜b2，此时成立． ③a≥0＞b，不等式 a|a|＞b|b|等价为 a•a＞﹣b•b，即 a2＞﹣b2，此时成立，即充分性 成立． 若 a|a|＞b|b|， ①当 a＞0，b＞0 时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（ a+b）＞0，因为 a+b＞0，所 以 a﹣b＞0，即 a＞b． ②当 a＞0，b＜0 时，a＞b． ③当 a＜0，b＜0 时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（ a+b）＜0，因为 a+b＜0，所 以 a﹣b＞0，即 a＞b．即必要性成立， 综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决 本题的关键． 8．（ 5 分）（2014•天津）已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD=120°，点 E、F 分别在边 BC、 DC 上， =λ ， =μ ，若 • =1， • =﹣ ，则 λ+μ=（ ） A． B． C． D． 考点： 平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由 • =1，求得 4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由 • =﹣ ，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②．结 合①②求得 λ+μ 的值． 解答： 解：由题意可得若 • =（ + ）•（ + ）= + + + =2×2×cos120°+ +λ • +λ •μ =﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120° =4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1， ∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①． • =﹣ •（﹣ ）= =（1﹣λ） •（1﹣μ） =（1﹣λ） •（1﹣μ） =（1﹣λ）（ 1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣ ， 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②． 由①②求得 λ+μ= ， 故答案为： ． 点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义， 属于中档题． 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9．（ 5 分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用 分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该 校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科 生中抽取 60 名学生． 考点： 分层抽样方法．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： 先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为 所求． 解答： 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为 = ， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300× =60， 故答案为：60． 点评： 本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对 应各层的样本数之比，属于基础题． 10．（ 5 分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3． 考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题： 立体几何． 分析： 几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的 体积公式计算． 解答： 解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 其中圆柱的高为 4，底面直径为 2，圆锥的高为 2，底面直径为 4， ∴几何体的体积 V=π×12×4+ ×π×22×2=4π+ π= π． 故答案为： ． 点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是解题的关键． 11．（ 5 分）（2014•天津）设{an}是首项为 a1，公差为﹣1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1 的值为 ﹣ ． 考点： 等比数列的性质．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由条件求得，Sn= ，再根据 S1，S2，S4 成等比数列，可得 =S1•S4， 由此求得 a1 的值． 解答： 解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn= = ， 再根据若 S1，S2，S4 成等比数列，可得 =S1•S4，即 =a1•（4a1 ﹣6）， 解得 a1=﹣ ， 故答案为：﹣ ． 点评： 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． 12．（ 5 分）（2014•天津）在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 b﹣ c= a，2sinB=3sinC，则 cosA 的值为 ﹣ ． 考点： 余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有 专题： 解三角形． 分析： 由条件利用正弦定理求得 a=2c，b= ，再由余弦定理求得 cosA= 的值． 解答： 解：在△ ABC 中， ∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC， ∴2b=3c ②， ∴由①②可得 a=2c，b= ． 再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ， 故答案为：﹣ ． 点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． 13．（ 5 分）（2014•天津）在以 O 为极点的极坐标系中，圆 ρ=4sinθ 和直线 ρsinθ=a 相交于 A、 B 两点，若△ AOB 是等边三角形，则 a 的值为 3 ． 考点： 简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 专题： 坐标系和参数方程． 分析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出 B 的坐标的值，代入 x2+（y﹣2）2=4，可得 a 的值． 解答： 解：直线 ρsinθ=a 即 y=a，（ a＞0），曲线 ρ=4sinθ， 即 ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以 C（0，2）为圆心，以 2 为半径的圆， ∵△AOB 是等边三角形，∴B（ a，a）， 代入 x2+（y﹣2）2=4，可得（ a）2+（a﹣2）2=4， ∵a＞0，∴a=3． 故答案为：3． 点评： 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出 B 的坐 标是解题的关键，属于基础题． 14．（ 5 分）（2014•天津）已知函数 f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程 f（x）﹣a|x﹣1|=0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 （0，1）∪（9，+∞） ． 考点： 根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由 y=f（x）﹣a|x﹣1|=0 得 f（x）=a|x﹣1|，作出函数 y=f（x）， y=a|x﹣1|的图象利用 数形结合即可得到结论． 解答： 解：由 y=f（x）﹣a|x﹣1|=0 得 f（x）=a|x﹣1|， 作出函数 y=f（x）， y=g（x）=a|x﹣1|的图象， 当 a≤0，不满足条件， 则 a＞0，此时 g（x）=a|x﹣1|= ， 当﹣3＜x＜0 时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1）， 即 x2+（3﹣a）x+a=0， 则由△ =（3﹣a）2﹣4a=0，即 a2﹣10a+9=0，解得 a=1 或 a=9， 当 a=9 时，g（x）=﹣9（x﹣1）， g（0）=9，此时不成立，∴此时 a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时 0＜a＜1， 若 a＞1，此时 g（x）=﹣a（x﹣1）与 f（x），有两个交点， 此时只需要当 x＞1 时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可， 即 x2+3x=a（x﹣1），整理得 x2+（3﹣a）x+a=0， 则由△ =（3﹣a）2﹣4a＞0，即 a2﹣10a+9＞0，解得 a＜1（舍去）或 a＞9， 综上 a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）， 方法 2：由 f（x）﹣a|x﹣1|=0 得 f（x）=a|x﹣1|， 若 x=1，则 4=0 不成立， 故 x≠1， 则方程等价为a= = =| |=|x﹣1+ +5|， 设 g（x）=x﹣1+ +5， 当 x＞1 时，g（x）=x﹣1+ +5≥ ，当且仅当 x﹣ 1= ，即 x=3 时取等号， 当 x＜1 时，g（x）=x﹣1+ +5 =5﹣4=1，当且仅 当﹣（x﹣1）=﹣ ，即 x=﹣1 时取等号， 则|g（x）|的图象如图： 若方程 f（x）﹣a|x﹣1|=0 恰有 4 个互异的实数根， 则满足 a＞9 或 0＜a＜1， 故答案为：（0，1）∪（9，+∞） 点评： 本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强， 难度较大． 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） 15．（ 13 分）（2014•天津）已知函数 f（x）=cosx•sin（x+ ）﹣ cos2x+ ，x∈R． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在闭区间[﹣ ， ]上的最大值和最小值． 考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的 周期公式 求出此函数的最小正周期； （Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中 x 的范围，求出 的范围，再利用 正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（ sinx cosx） = = = = 所以，f（x）的最小正周期 =π． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）= ， 由 x∈[﹣ ， ]得，2x∈[﹣ ， ]，则 ∈[ ， ]， ∴当 =﹣ 时，即 =﹣1 时，函数 f（x）取到最小值是： ， 当 = 时，即 = 时，f（x）取到最大值是： ， 所以，所求的最大值为 ，最小值为 ． 点评： 本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的 周期公式 应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题． 16．（ 13 分）（2014•天津）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学，在这 10 名同学中， 3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； （Ⅱ）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 考点： 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 专题： 概率与统计． 分析： （Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 3 名同学是来自互不相同学院的 基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值； （Ⅱ）随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3， （k=0，1，2， 3）列出随机变量 X 的分布列求出期望值． 解答： （Ⅰ）解：设“选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为事件 A， 则 ， 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 ． （Ⅱ）解：随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3， （k=0，1， 2，3） 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 ． 点评： 本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望， 考查应用概率解决实际问题的能力． 17．（ 13 分）（2014•天津）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC， AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC； （Ⅱ）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF⊥AC，求二面角 F﹣AB﹣P 的余弦值． 考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何． 分析： （I）以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出 BE，DC 的方向向量， 根据 • =0，可得 BE⊥DC； （II）求出平面 PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）根据 BF⊥AC，求出向量 的坐标，进而求出平面 FAB 和平面 ABP 的法向量， 代入向量夹角公式，可得二面角 F﹣AB﹣P 的余弦值． 解答： 证明：（I）∵PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB， 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点． ∴B（1，0，0）， C（2，2，0）， D（0，2，0）， P（0，0，2）， E（1，1，1） ∴ =（0，1，1）， =（2，0，0） ∵ • =0， ∴BE⊥DC； （Ⅱ）∵ =（﹣1，2，0）， =（1，0，﹣2）， 设平面 PBD 的法向量 =（x，y，z）， 由 ，得 ， 令 y=1，则 =（2，1，1）， 则直线 BE 与平面 PBD 所成角 θ 满足： sinθ= = = ， 故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 ． （Ⅲ）∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0）， 由 F 点在棱 PC 上，设 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（ 0≤λ≤1）， 故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（ 0≤λ≤1）， 由 BF⊥AC，得 • =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 解得 λ= ， 即 =（﹣ ， ， ）， 设平面 FBA 的法向量为 =（a，b，c）， 由 ，得 令 c=1，则 =（0，﹣3，1）， 取平面 ABP 的法向量 =（0，1，0）， 则二面角 F﹣AB﹣P 的平面角 α 满足： cosα= = = ， 故二面角 F﹣AB﹣P 的余弦值为： 点评： 本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向 量夹角问题，是解答的关键． 18．（ 13 分）（2014•天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶 点为 A，上顶点为 B，已知|AB|= |F1F2|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的 直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设椭圆的右焦点为 F2（c，0），由|AB|= |F1F2|．可得 ， 再利用 b2=a2﹣c2，e= 即可得出． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 b2=c2．可设椭圆方程为 ，设 P（x0，y0），由 F1（﹣ c，0）， B（0，c），可得 ， ．利用圆的性质可得 ，于是 =0， 得到 x0+y0+c=0，由于点 P 在椭圆上，可得 ．联立可得 =0， 解得 P ．设圆心为 T（x1，y1），利用中点坐标公式可得 T ，利用两点间的距离公式可得圆的半径 r．设直线 l 的方程为： y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为 F2（c，0）， 由|AB|= |F1F2|，可得 ，化为 a2+b2=3c2． 又 b2=a2﹣c2，∴a2=2c2． ∴e= ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 b2=c2．因此椭圆方程为 ． 设 P（x0，y0），由 F1（﹣c，0）， B（0，c），可得 =（x0+c，y0）， =（c，c）． ∵ ， ∴ =c（x0+c）+cy0=0， ∴x0+y0+c=0， ∵点 P 在椭圆上，∴ ． 联立 ，化为 =0， ∵x0≠0，∴ ， 代入 x0+y0+c=0，可得 ． ∴P ． 设圆心为 T（x1，y1），则 =﹣ ， = ． ∴T ， ∴圆的半径 r= = ． 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：y=kx． ∵直线 l 与圆相切， ∴ ， 整理得 k2﹣8k+1=0，解得 ． ∴直线 l 的斜率为 ． 点评： 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问 题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能 力和计算能力，属于难题． 19．（ 14 分）（2014•天津）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M={0，1，2，…， q﹣1}，集合 A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}． （Ⅰ）当 q=2，n=3 时，用列举法表示集合 A； （Ⅱ）设 s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中 ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证 明：若 an＜bn，则 s＜t． 考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （Ⅰ）当 q=2，n=3 时，M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2， 3}．即可得到集合 A． （Ⅱ）由于 ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得 an﹣bn≤﹣1． 由题意可得 s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2） q+…+ + ≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]， 再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出． 解答： （Ⅰ）解：当 q=2，n=3 时， M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}． 可得 A={0，1，2，3，4，5，6，7}． （Ⅱ）证明：由设 s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中 ai，bi∈M， i=1，2，…，n．an＜bn，∴an﹣bn≤﹣1． 可得 s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ + ≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1] = ＜0． ∴s＜t． 点评： 本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前 n 项和公式、不等式的基本性 质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20．（ 14 分）（2014•天津）设 f（x）=x﹣aex（a∈R）， x∈R，已知函数 y=f（x）有两个零点 x1，x2，且 x1＜x2． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： 随着 a 的减小而增大； （Ⅲ）证明 x1+x2 随着 a 的减小而增大． 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．菁优网版权所有 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）对 f（x）求导，讨论 f′（x）的正负以及对应 f（x）的单调性，得出函数 y=f （x）有两个零点的等价条件，从而求出 a 的取值范围； （Ⅱ）由 f（x）=0，得 a= ，设 g（x）= ，判定 g（x）的单调性即得证； （Ⅲ）由于 x1=a ，x2=a ，则 x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，令 =t，整理得到 x1+x2= ，令 h（x）= ，x∈（1，+∞），得到 h（x）在（ 1，+∞） 上是增函数，故得到 x1+x2 随着 t 的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t 随着 a 的减小而增 大，即得证． 解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex； 下面分两种情况讨论： ①a≤0 时，f′（x）＞0 在 R 上恒成立，∴f（x）在 R 上是增函数，不合题意； ②a＞0 时，由 f′（x）=0，得 x=﹣lna，当 x 变化时，f′（x）、 f（x）的变化情况如下 表： x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x） 递增 极大值﹣lna﹣1 递减 ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）； ∴函数 y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立： ①f（﹣lna）＞0； ②存在 s1∈（﹣∞，﹣lna），满足 f（s1）＜0； ③存在 s2∈（﹣lna，+∞），满足 f（s2）＜0； 由 f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得 0＜a＜e﹣1； 取 s1=0，满足 s1∈（﹣∞，﹣lna），且 f（s1）=﹣a＜0， 取 s2= +ln ，满足 s2∈（﹣lna，+∞），且 f（s2）=（ ﹣ ）+（ln ﹣ ）＜0； ∴a 的取值范围是（0，e﹣1）． （Ⅱ）证明：由 f（x）=x﹣aex=0，得 a= ， 设 g（x）= ，由 g′（x）= ，得 g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞） 上单调递减， 并且当 x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当 x∈（0，+∞）时，g（x）≥0， x1、x2 满足 a=g（x1）， a=g（x2）， a∈（0，e﹣1）及 g（x）的单调性，可得 x1∈（0，1）， x2∈（1，+∞）； 对于任意的 a1、a2∈（0，e﹣1），设 a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中 0＜X1＜1＜ X2； g（Y1）=g（Y2）=a2，其中 0＜Y1＜1＜Y2； ∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由 a1＞a2，得 g（Xi）＞g（Yi），可得 X1＞Y1； 类似可得 X2＜Y2； 又由 X、Y＞0，得 ＜ ＜ ；∴ 随着 a 的减小而增大； （Ⅲ）证明：∵x1=a ，x2=a ，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2； ∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln ，设 =t，则 t＞1， ∴ ，解得 x1= ，x2= ， ∴x1+x2= …①； 令 h（x）= ，x∈（1，+∞），则 h′（x）= ； 令 u（x）=﹣2lnx+x﹣ ，得 u′（x）= ，当 x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0， ∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的 x∈（1，+∞）， u（x）＞u（1）=0， ∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数； ∴由①得 x1+x2 随着 t 的增大而增大． 由（Ⅱ）知，t 随着 a 的减小而增大， ∴x1+x2 随着 a 的减小而增大． 点评： 本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思 想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．