2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试 等差数列的性质 5页

同步精选测试 等差数列的性质 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.下列说法中正确的是(　　)‎ A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log‎2a，log2b，log‎2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则‎2a,2b,‎2c成等差数列 ‎【解析】　不妨设a＝1，b＝2，c＝3.‎ A选项中，a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然a2，b2，c2不成等差数列.‎ B选项中，log21＝0，log22＝1，log23>1，显然log‎2a，log2b，log‎2c也不成等差数列.‎ C选项中，a＋2＝3，b＋2＝4，c＋2＝5，显然a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.‎ D选项中，‎2a＝2,2b＝4,‎2c＝8，显然‎2a,2b,‎2c也不构成等差数列.‎ ‎【答案】　C ‎2.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)‎ A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根 ‎【解析】　由于a4＋a6＝a2＋a8＝‎2a5，而‎3a5＝9，‎ ‎∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无解.‎ ‎【答案】　A ‎3.设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　) ‎ ‎【导学号：18082085】‎ A.0 B‎.37 C.100 D.－37‎ ‎【解析】　设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，‎ c2＝a2＋b2＝100，‎ ‎∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.‎ ‎∴c37＝100.‎ ‎【答案】　C ‎4.若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　)‎ A.39 B‎.20 C.19.5 D.33‎ 5‎ ‎【解析】　由等差数列的性质，得 a1＋a4＋a7＝‎3a4＝45，‎ a2＋a5＋a8＝‎3a5＝39，‎ a3＋a6＋a9＝‎3a6.‎ 又‎3a5×2＝‎3a4＋‎3a6，‎ 解得‎3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.‎ ‎【答案】　D ‎5.已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N＋).若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)‎ A.0 B‎.3 C.8 D.11‎ ‎【解析】　设数列{bn}的首项为b1，公差为d.‎ 由b3＝－2，b10＝12，‎ 得解得 所以bn＝－6＋2(n－1)＝2n－8.‎ 因为bn＝an＋1－an，‎ 所以a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋(a6－a5)＋(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝b7＋b6＋b5＋…＋b1＋a1‎ ‎＝(6＋4＋2＋0－2－4－6)＋3‎ ‎＝3.‎ ‎【答案】　B 二、填空题 ‎6.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则‎3a5＋a7＝________. ‎ ‎【导学号：18082086】‎ ‎【解析】　设等差数列{an}的公差为d，‎ 则a3＋a8＝‎2a1＋9d＝10，‎ 所以‎3a5＋a7＝‎4a1＋18d＝2(‎2a1＋9d)＝20.‎ ‎【答案】　20‎ ‎7.在等差数列{an}中，已知a1，a99是函数f(x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________.‎ ‎【解析】　由题意，知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a99＝10.又因为{an}是等差数列，所以a50＝＝5，故a50＋a20＋a80＝a50＝×5＝.‎ 5‎ ‎【答案】　 ‎8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共‎3 L，下面3节的容积共‎4 L，则第5节的容积为________L.‎ ‎【解析】　法一：设数列{an}为等差数列，自上而下第一节竹子的容积为a1，第二节竹子的容积为a2……第九节竹子的容积为a9.‎ a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，‎ 即‎4a5－10d＝3，①‎ ‎3a‎5＋9d＝4.②‎ 联立①②，解得a5＝.‎ 法二：设数列{an}为等差数列，自上而下第1节竹子的容积为a1，第2节竹子的容积为a2……第九节竹子的容积为a9.‎ 因为a1＋a2＋a3＋a4＝‎4a1＋6d＝3，‎ a7＋a8＋a9＝‎3a1＋21d＝4，‎ 解得a1＝，d＝，‎ 所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝.‎ ‎【答案】　 三、解答题 ‎9.已知等差数列{an}，设bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求{an}的通项公式.‎ ‎【解】　因为b1＋b2＋b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，‎ 所以a1＋a2＋a3＝3.‎ 由a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1.‎ 由＋＋＝，‎ 得2d＋2－d＝，‎ 解得d＝2或d＝－2.‎ 当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；‎ 当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.‎ 5‎ ‎10.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数. ‎ ‎【导学号：18082087】‎ ‎【解】　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，‎ 依题意，‎2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，‎ 即a＝1，a2－9d2＝－8，‎ ‎∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.‎ 又四个数成递增等差数列，所以d>0，‎ ‎∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)‎ A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0‎ C.a3＋a99＝0 D.a51＝51‎ ‎【解析】　根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝‎2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝‎2a51＝0，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　)‎ A.14 B‎.15 C.16 D.17‎ ‎【解析】　设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，‎ ‎∴‎5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.‎ ‎【答案】　C ‎3.数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，则an＝________.‎ ‎【解析】　因为＋＝，‎ 所以数列为等差数列，‎ 又＝1，公差d＝－＝－1＝，‎ 所以通项公式＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)×＝，所以an＝.‎ ‎【答案】　 ‎4.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？‎ ‎【解】　设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，‎ 又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，‎ 5‎ 等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.‎ 所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，①‎ 所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.‎ 又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，②‎ 得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项.‎ 5‎