黑龙江省大庆实验中学2020届高二下学期第二次月考 数学试题（含答案解析） 15页

第 1 页 共 15 页 黑龙江省大庆实验中学 2020届下学期第二次月考试题 高二数学 一、单选题 1．在参数方程 cos sin x a t y b t        ， ( 0  „ ，t为参数)所表示的曲线上有 ,B C 两点，它们对 应的参数值分别为 1t ， 2t ，则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是（ ） A． 1 2 2 t t B． 1 2 2 t t C． 1 2 2 t t D． 1 2 2 t t 2．若直线l 的参数方程为 2 3 3 4 x t y t       （t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A． 4 5  B． 3 5 - C． 3 5 D． 4 5 3．已知椭圆   2 2 2: 1 24 y xC aa    的离心率 3 3 ，P 为椭圆C 上的一个动点，则 P 与定点  1,0B  连线距离的最大值为( ) A． 3 2 B． 5 2 C． 30 2 D．3 4．在极坐标系中，O 为极点，曲线 2 cos 1   与 3   射线的交点为 A ，则 OA （ ） 第 2 页 共 15 页 A． 2 B． 2 C． 1 2 D． 2 2 5．已知曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 12 3cos 4sin     ，以极点为原点，极轴为 x 轴非负 半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换 1 2 3 3 x x y y       后，得到的曲线是（ ） A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 6．已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 4cos ( )sin x y 为参数     ，M 是 曲线 C 上的动点．以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标 系，若曲线T 的极坐标方程为 2 sin cos 20     ，则点 M 到点 T 的距离的最大值为 （ ） A． 2 4 5 B． 13 4 5 C． 4 4 5 D． 6 5 7．直线 1 2 2 x t y t      (t 为参数)被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长为( ) A．12 5 第 3 页 共 15 页 B．12 5 5 C． 9 5 5 D． 9 10 5 8．已知直线l ： 3 2 x t y t     (t 为参数)和抛物线C ： 2 2y x ，l 与C 分别交于点 1 2,P P ，则 点 (0,2)A 到 1 2,P P 两点距离之和是( ) A．10 B．30 10 C．10 10 3 D．10 10 9．过椭圆 C ： 2cos 3 sin x y     （ 为参数）的右焦点 F 作直线l ：交C 于 M ， N 两点， MF m ， NF n ，则 1 1 m n  的值为（） A． 2 3 B． 4 3 C． 8 3 D．不能确定 10．已知点  1, 2A  ，  2,0B ，P 为曲线 233 4y x  上任意一点，则 AP AB  的取值范 围为（ ） A． 1,7 B． 1,7 第 4 页 共 15 页 C． 1,3 2 3   D． 1,3 2 3    11．已知椭圆   2 2 2 2 1 0 ,x y a b Ma b     为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点则线段 1MF 的中点 P 的轨迹是（ ） A．椭圆 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段 12．已知点 P 为椭圆 2 2 14 3 x y  上第一象限上的任意一点，点 A ，B 分别为椭圆的右顶点 和上顶点，直线 PA 与 y 交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，则 AN BM 的值为（ ） A． 4 B． 4 3 C． 4 3 D． 4 3 3 二、填空题 13．中心在原点，对称轴为坐标轴，过 (0,5)A 和 (4,0)B 的椭圆的参数方程为________. 14．已知实数 x y、 满足 2 2( 2cos 3) ( 2sin 4) 1x y       ， R ，则 2 2x y 的最 大值是__________ 15．椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  与 x 轴的正半轴交于点 A ，若这个椭圆上总存在点 P ，使 OP AP （O 为原点），求椭圆离心率 e 的取值范围______ 16．已知函数 3( ) 3 3 3 3 3x xf x x x       ，若 2 2(3 ) ( 1) 6f a f b   ，则 21a b 的 最大值是________ 三、解答题 第 5 页 共 15 页 17．在直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数）,以坐标原点为 极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos   . （1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的的直角坐标方程； （2）若 1C 与 2C 交于 ,A B 两点，点 P 的极坐标为 ( 2, )4  ，求 1 1 PA PB  的值. 第 6 页 共 15 页 参考答案 一、单选题 1．在参数方程 cos sin x a t y b t        ， ( 0  „ ，t为参数)所表示的曲线上有 ,B C 两点，它们对 应的参数值分别为 1t ， 2t ，则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是（ ） A． 1 2 2 t t B． 1 2 2 t t C． 1 2 2 t t D． 1 2 2 t t 答案：D 解析：如图： 由直线参数方程的参数t 的几何意义可知， 1PB t ， 2PC t ，因为 M 是 BC 的中点，所以 1 2 2 t tPM  . 2．若直线l 的参数方程为 2 3 3 4 x t y t       （t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为（ ） A． 4 5  B． 3 5 - C． 3 5 D． 4 5 答案：B 解析：设直线l 的倾斜角为 ，由题意 2 3 4 3 1 03 4 x t x yy t          ， 第 7 页 共 15 页 ∴ 4tan 3k    ， ( , )2   ，∴ 3cos 5    ． 3．已知椭圆   2 2 2: 1 24 y xC aa    的离心率 3 3 ，P 为椭圆C 上的一个动点，则 P 与定点  1,0B  连线距离的最大值为( ) A． 3 2 B． 5 2 C． 30 2 D．3 答案:D 解析:椭圆   2 2 2 1 24 y x aa    的离心率 3 3 ，可得： 2 4 3 3 a a   ，解得 a= 6 ， 椭圆方程为 2 2 1,6 4 y x  设 P 2 , 6cos sin  ，则 P 与定点  1,0B  连线距离为  2 2 2 22cos 1 6sin 2sin 4cos 5 2cos 4cos 7              ， 当 cos 1  时，取得最大值 3．故选：D． 4．在极坐标系中，O 为极点，曲线 2 cos 1   与 3   射线的交点为 A ，则 OA （ ） A． 2 B． 2 C． 1 2 D． 2 2 答案：B 解析：由题可得： 2cos 1 { 2 3        ，由  的几何意义可得 OA  2 ，故选 B. 第 8 页 共 15 页 5．已知曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 12 3cos 4sin     ，以极点为原点，极轴为 x 轴非负 半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 经过伸缩变换 1 2 3 3 x x y y       后，得到的曲线是（ ） A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 答案：C 解析：由极坐标方程 2 2 2 2 2 12 3( cos ) 4( sin ) 123cos 4sin          ， 可得： 2 23 4 12x y  ，即 2 2 14 3 x y  ， 曲线C 经过伸缩变换 1 2 3 3 x x y y       ，可得 2 3 x x y y      ，代入曲线C 可得： 2 2 1x y   ， ∴伸缩变换得到的曲线是圆． 6．已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 4cos ( )sin x y 为参数     ，M 是 曲线 C 上的动点．以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标 系，若曲线T 的极坐标方程为 2 sin cos 20     ，则点 M 到点 T 的距离的最大值为 （ ） A． 2 4 5 B． 13 4 5 C． 4 4 5 D． 6 5 答案:A 第 9 页 共 15 页 解析:由曲线T 的极坐标方程为 2 sin cos 20     ，可得曲线T 的直角坐标方程为 2 20 0x y   ， 由于点 M 为曲线C 的一个动点，故设点 (4cos ,sin )M   ， 则点 M 到直线T 的距离： 2 5 sin( ) 204cos 2sin 20 2sin( ) 4 5 5 5 d             所以当sin( ) 1    时，距离最大 max 2 4 5d   ，点 M 到直线T 的距离的最大值为 2 4 5 ；故答案选 A 7．直线 1 2 2 x t y t      (t 为参数)被圆 x2＋y2＝9 截得的弦长为( ) A．12 5 B．12 5 5 C． 9 5 5 D． 9 10 5 答案:B 解析:由 1 2 2 x t y t      可得 21 5 5 12 5 5 x t y t         把直线 1 2 2 x t y t      代入 x2＋y2＝9， 得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9，5t2＋8t－4＝0， |t1－t2|＝ 2 2 1 2 1 2 8 16 12( ) 4 ( )5 5 5t t t t      ， 第 10 页 共 15 页 弦长为 1 2 12 55 5t t  . 8．已知直线l ： 3 2 x t y t     (t 为参数)和抛物线C ： 2 2y x ，l 与C 分别交于点 1 2,P P ，则 点 (0,2)A 到 1 2,P P 两点距离之和是( ) A．10 B．30 10 C．10 10 3 D．10 10 答案:D 解析:直线l ： 3 2 x t y t     (t 为参数)和抛物线C ： 2 2y x 联立得到 2 10 4 0t t   ， 根据参数 t 的几何意义得到点  0,2A 到 1 2,P P 两点距离之和是： 2 1 2 1 21 3 10 10AP AP t t     故答案为 D. 9．过椭圆 C ： 2cos 3 sin x y     （ 为参数）的右焦点 F 作直线l ：交C 于 M ， N 两点， MF m ， NF n ，则 1 1 m n  的值为（） A． 2 3 B． 4 3 C． 8 3 D．不能确定 答案:B 第 11 页 共 15 页 解析:消去参数得到椭圆的普通方程为 2 2 14 3 x y  ，故焦点  1,0F ，设直线l 的参数方程为 1 cos sin x t y t       （ 为参数），代入椭圆方程并化简得  2 23 sin 6cos 9 0t t      .故 1 2 1 22 2 6cos 9, 03 sin 3 sint t t t          （ 1 2,t t 异号）.故 1 1 m n m n mn    2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 4t t t tt t t t t t      4 3 .故选 B. 10．已知点  1, 2A  ，  2,0B ，P 为曲线 233 4y x  上任意一点，则 AP AB  的取值范 围为（ ） A． 1,7 B． 1,7 C． 1,3 2 3   D． 1,3 2 3    答案:A 解析:设  ,P x y 则由 233 4 xy   可得   2 2 1 04 3 x y y   ， 令 2cos , 3sinx y   ，  ( 0,  ，  1, 2AP x y    ，  1,2AB  ， 1 2 4 2 3 2cos 2 3sin 3 4sin 36AP AB x y x y                       ， 0    ， 7 6 6 6       ， 1 sin 12 6        ， 1 4sin 3 76         ， 11．已知椭圆   2 2 2 2 1 0 ,x y a b Ma b     为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点则线段 1MF 的中点 P 的轨迹是（ ） A．椭圆 第 12 页 共 15 页 B．圆 C．双曲线的一支 D．线段 答案:A 解析:设 1 0M acos bsin F c（ ， ） （ ，），   线段 1MF 的中点 2 2 acos c bsinP  （ ， ）， 2 2 acos cx bsiny       ， 2 2  x c ycos sina b    ， ，∴点 P 的轨迹方程为 2 2 2 2 ( )2  1 4 4 cx y a b   ＝， ∴线段 1MF 的中点 P 的轨迹是椭圆．故选 A． 12．已知点 P 为椭圆 2 2 14 3 x y  上第一象限上的任意一点，点 A ，B 分别为椭圆的右顶点 和上顶点，直线 PA 与 y 交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N ，则 AN BM 的值为（ ） A． 4 B． 4 3 C． 4 3 D． 4 3 3 答案:B 解析:如图所示：设 P 的坐标为 2 3cos sin （ ， ），由 2 0 0 3A B（ ，），（ ， ），则直线 AP 的 方程为 3 22 2 siny xcos    （ ），令 0x  时，则 3 1 siny cos    ，即 30 1 sinM cos   （ ， ）， 第 13 页 共 15 页 3 13 31 1 sin cos sinBM cos cos            ，则直线 BP 的方程为 3 33 2 siny xcos     ， 令 0y  ，则 2 1 cosx sin    ，即 2 2 10 2 21 1 1 cos cos sin cosN ANsin sin sin               （ ，）， ， 1 1 2 3  (1 )(1 ) sin cos sin cos AN BM sin cos                 (1 )(1 )  2 3 2 4 3(1 )(1 ) sin cos sin cos           ， 故选 B 三、填空题 13．中心在原点，对称轴为坐标轴，过 (0,5)A 和 (4,0)B 的椭圆的参数方程为________. 答案: 4cos 5sin x y      （ 为参数） 解析:由已知可得，椭圆的普通方程 2 2 5 116 2 x y  ，易得椭圆的参数方程为 4cos 5sin x y      （ 为 参数）. 14．已知实数 x y、 满足 2 2( 2cos 3) ( 2sin 4) 1x y       ， R ，则 2 2x y 的最 大值是__________ 答案： 64 解析： 2 2x y 的几何意义是动圆   2 22cos 3 2sin 4 1x x y x      上一点到坐标原点 的距离的平方. 设动圆圆心为 P P  2cos 3,2sin 4x x  P 为动点，在圆    2 23 4 4x y    上运动 则 2 2 max 3 4 2 7OP     第 14 页 共 15 页    22 2 max 7 1 64x y     15．椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  与 x 轴的正半轴交于点 A ，若这个椭圆上总存在点 P ，使 OP AP （O 为原点），求椭圆离心率 e 的取值范围______ 答案: 2 12 e  解析:设椭圆的参数方程是 cos sin x a y b      （ 为参数， 0a b  ）， 则 ( cos , sin )P a b  ， ( ,0)A a . OP AP ， sin sin 1cos cos b b a a a       即 2 2 2 2 2cos cos 0a b a b     ，解得 2 2 2cos b a b    或 cos 1  （舍 去）. ,0 cos 1a b    ， 2 2 20 1b a b   .把 2 2 2b a c  代入上式得 2 2 20 1a c c   ， 即 2 10 1 1e    ，解得 2 12 e  . 16．已知函数 3( ) 3 3 3 3 3x xf x x x       ，若 2 2(3 ) ( 1) 6f a f b   ，则 21a b 的 最大值是________ 答案: 3 3 解析:设 g(x)=f(x)-3,所以 g(x)= 3  3 3 3 3x xx x     , 所以 3( ) 3( ) 3 3 3 , ( ) ( ) 0,x xg x x x g x g x           所以 g(-x)=-g(x),所以函数 g(x)是 奇函数， 由题得 2( ) 9 3 3 ln3 3 ln3 0x xg x x       ，所以函数 g（x）是减函数， 因为    2 23 1 6f a f b   ，所以    2 23 3 1 3 0f a f b     ， 所以 g   2 23 1a g b  =0,所以 g 23a =g(1- 2 )b ,所以 2 2 2 2 33 1 , 3 1, cos , sin ,3a b a b a b       设 第 15 页 共 15 页 不妨设 cos 0  ，所以 21a b = 2 2 2 2 23 3 3cos 1 sin (1 sin )cos (1 sin )(1 sin )3 3 3            = 43 31 sin3 3   ，所以 21a b 的最大值为 3 3 .故答案为 3 3 三、解答题 17．在直角坐标系 xoy 中，曲线 1C 的参数方程为 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数）,以坐标原点为 极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos   . （1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的的直角坐标方程； （2）若 1C 与 2C 交于 ,A B 两点，点 P 的极坐标为 ( 2, )4  ，求 1 1 PA PB  的值. 答案：曲线 1C 普通方程为 2 0x y   曲线 2C 的直角坐标方程为 2 4y x ； 2 6 3 解析：曲线 1C 的参数方程为 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数），两式相加消去 t 可得普通方程为 2 0x y   ；又由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， 曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos   转化为直角坐标方程为 2 4y x 把曲线 1C 的参数方程为 21 2 21 2 x t y t       （t 为参数），代入 2 4y x 得 2 6 2 6 0t t   ， 设 1t ， 2t 是 ,A B 对应的参数，则 1 1 6 2t t   ， 1 2 6t t   所以 1 2 1 2 1 1 PA PB t t PA PB PA PB t t       2 1 2 1 2 1 2 4 96 2 6 6 3 t t t t t t      