2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§11-2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差（讲解部分） 11页

§11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差 高考数学 考点一　离散型随机变量及其分布列 　　 考点清单 1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机 变量,按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. (2)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1 , x 2 , … , x i , … , x n , X 取每一 个值 x i ( i =1,2, … , n )的概率 P ( X = x i )= p i ,则下表称为随机变量 X 的概率分布列, 简称为 X 的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质: (1) p i ≥ 0, i =1,2, … , n ; X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (2) p 1 + p 2 + … + p i + … + p n =1; (3) P ( x i ≤ X ≤ x j )= p i + p i +1 + … + p j ( i < j 且 i , j ∈N * ). 温馨提示　分布列的性质 (2) 的作用 : 可以用来检查所写出的分布列是否有 误 , 还可以求分布列中的某些参数 . 3.常见的离散型随机变量的概率分布模型 (1)两点分布 若随机变量 X 的分布列为 　　则称 X 服从两点分布. (2)超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件 { X = k }发生的概率为 P ( X = k )=   ( k =0,1,2, … , m ),其中 m =min{ M , n },且 n ≤ N , M ≤ N , n 、 M 、 N ∈N * ,称分布列 X 0 1 P 1- p p X 0 1 … m P     …   为超几何分布列. 考点二　离散型随机变量的均值与方差 1.均值与方差的定义 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (1)均值 称 EX = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x i p i + … + x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了 离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称 DX =   ( x i - EX ) 2 p i 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的 平均偏离程度,其算术平方根   为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1) E ( aX + b )=①      aEX + b      . (2) D ( aX + b )=②      a 2 DX      .( a , b 为实数) 3.两点分布的均值、方差 若 X 服从两点分布,则 EX = p , DX = p (1- p ). 例    (2019湖北荆门调研,19)在测试中,客观题难度的计算公式为 P i =   ,其 中 P i 为第 i 题的难度, R i 为答对该题的人数, N 为参加测试的总人数.现对某校 高三年级240名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了 解,预估了每道题的难度,如下表所示: 测试后,随机抽取了20名学生的答题数据进行统计,结果如下: 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 P i 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 知能拓展 考法　求离散型随机变量的期望与方差的方法 (1)根据题中数据,估计这240名学生中第5题的实测答对人数; (2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生,记这2名学生中答对第5题的人 数为 X ,求 X 的分布列和数学期望; (3)试题的预估难度和实测难度之间会有偏差,设 P i '为第 i 题的实测难度,并 定义统计量 S =   [( P 1 '- P 1 ) 2 +( P 2 '- P 2 ) 2 + … +( P n '- P n ) 2 ],若 S <0.05,则本次测试的难 度预估合理,否则不合理,试检验本次测试对难度的预估是否合理. 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 16 16 14 14 4 解题导引　(1)由频率估计概率可知 P =   =0.2,进而估计240名学生中第5 题的实测答对人数; (2)确定人数 X 的所有可能取值,求 X 的概率分布列及数学期望; (3)根据统计量 S 的定义计算,然后与0.05比较大小即可得出答案. 解析　(1)因为20人中答对第5题的人数为4, 所以第5题的实测难度为   =0.2, 所以,估计240名学生中有240 × 0.2=48人实测答对第5题. (2) X 的所有可能取值是0,1,2. P ( X =0)=   =   , P ( X =1)=   =   , P ( X =2)=   =   . 则 X 的分布列为 　     EX =0 ×   +1 ×   +2 ×   =   =   . (3)将抽样的20名学生测试中第 i 题的实测难度作为240名学生测试中第 i 题 的实测难度. X 0 1 2 P       列表如下: 题号 1 2 3 4 5 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2   S =   × [(0.8-0.9) 2 +(0.8-0.8) 2 +(0.7-0.7) 2 +(0.7-0.6) 2 +(0.2-0.4) 2 ]=0.012. 因为 S =0.012<0.05, 所以,该次测试的难度预估是合理的. 方法总结    计算期望与方差的一般步骤 (1)理解 X 的意义,写出 X 的所有可能取值; (2)求 X 取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算. 说明:(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概 率,在求解时,要注意计数原理、排列组合的应用. (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量 稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生活实际中用 于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决 定.