八年级数学上册第十二章全等三角形专题训练五作辅助线构造三角形全等的常见技巧课件新版新人教版 21页

第十二章　全等三角形 专题训练(五)　作辅助线构造三角形全等的常见技巧 类型一　利用“角平分线”构造全等三角形 角平分线涉及的辅助线作法较多，在本章中，常用到的基本模型有如 下三种(AD为∠MAN的平分线，均有△PAB≌ △PAC)： (一)结合“ 过角平分线上一点作角两边的垂线”模型构造全等三角形 1．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直 角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.求证： PC＝PD. 2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分∠ABC， 求证：∠A＋∠C＝180°. 方法2：结合“过角平分线上一点作角平分线的垂线”模型来构造全等 三角形 3．如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD ＝∠DAC＋∠C. 证明：延长AD交BC于点E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDE＝ 90°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD， ∴△ABD≌ △EBD，∴∠BAD＝∠BED，∵∠BED＝∠DAC＋∠C， ∴∠BAD＝∠DAC＋∠C 4．如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交 OA于点D，AE⊥BD于点E.求证：BD＝2AE. 类型二　利用“截长补短法”构造全等三角形 5．如图所示，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，点 E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.(提示：在BC上截取BF，使BF＝BA，连 接EF) 证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.先用SAS证△BAE≌ △BFE，得 ∠A＝∠EFB.又AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，又∠EFB＋∠EFC＝ 180°，∴∠D＝∠EFC，再用AAS证△EFC≌ △EDC，∴FC＝CD， ∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB， AD，CE相交于点O. (1)求∠AOC的度数； (2)求证：AC＝AE＋CD. 类型三　利用“倍延法”构造全等三角形 如果问题中的有关线段比较分散，同时条件中又含有三角形的中线(或 中点)，此时常将中线(或过中点的线段)延长一倍后再与原三角形的某一 顶点连接，以构成“8”字形的全等三角形．方法1：倍延中线 7．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解：(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，则AE＝2AD，连接BE.∵D为 BC中点，∴CD＝BD，又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌ △EDB(SAS)，∴BE＝AC，∴AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD (2)∵AB－BE