【精品】人教版 九年级下册数学 27 7页

第 1 页 共 7 页 27.2.1 相似三角形的判定 第 3 课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 学习目标：1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理. 2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算. (重点、难点) 自主学习 一、知识链接 1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角 形相似还有哪些方法？ 2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似 呢？ 合作探究 一、要点探究 探究点 1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 操 作 利 用 刻 度 尺 和 量 角 器 画 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ ， 使 ∠ A= ∠ A ′ ， kCA AC BA AB  ，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角 形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？ 第 2 页 共 7 页 思考 改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？ 证明 如图，在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， CA AC BA AB  ，求证： △ABC∽△A′B′C′. 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥ B′C′，交 A′C′ 于点 E.【补全后面的证明过程】 【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：∵ CA AC BA AB  ，∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 思考 对于△ABC 和 △A′B′C′，如果∠B= ∠B′， CA AC BA AB  ，这两个三角形一 定会相似吗？试着画画看. 【结论】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个 三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 第 3 页 共 7 页 【典例精析】 例 1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm． 【针对训练】在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC. 例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求 证：△ABC ∽△ADE. 例 3 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 4 3 AB AD ，求 DE 的长. 例 4 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 BD CD CD AD  ，求证： ∠ACB=90°． 第 4 页 共 7 页 【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高可以转化为 90°等. 二、课堂小结 当堂检测 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是 50°的两个等腰三角形相似 ( ) 2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA 的条件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC 第 2 题图 第 3 题图 3. 如图 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) . 第 5 页 共 7 页 4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= 2 17 ，求 AD 的长． 5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED. 拓展提升 6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8， AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 第 6 页 共 7 页 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. 解：三角形全等的判定方法有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有 SAS 和 HL. 2. 解：能. 合作探究 一、要点探究 探究点 1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 证明 解：∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.∴ CA EA BA DA    . ∵ A′D=AB， CA AC BA AB  ，∴ CA AC CA EA BA DA    ，∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. 【典例精析】 例 1 解：∵ 3 7BA AB ， 3 7 6 14 CA AC ，∴ CA AC BA AB  ， 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′. 【针对训练】证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，∴ 5 3 BC EF AC DF .又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC. 例 2 证明：∵ △ABC 与 △ADE 都 是等腰三角形，∴ AD =AE，AB = AC，∴ AC AE AB AD  ，又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE. 例 3 解：∵ AE=1.5，AC=2， ∴ AB AD AC AE  4 3 .又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽ △ABC，∴ 4 3 AB AD BC DE ，∴ 4 9 4 3  BCDE . 例 4 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，∴ ∠ADC =∠CDB =90°. ∵ BD CD CD AD  ，∴△ADC ∽△CDB.∴ ∠ACD =∠B. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 当堂检测 1. (1) √ (2) × (3) × (4) × 2. D 3. 相似 第 7 页 共 7 页 4. 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= 2 17 ，∴ 5 4 AC BC CD AB . 又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，∴ 5 4 AC BC AD AC ，∴AD= 4 25 . 5. 证明：∵ AB · AD = AE·AC，∴ AD AC AE AB  . 又∵ ∠DAB =∠CAE，∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED. 拓展提升 6. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．