【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第九章45抛物线作业 8页

【课时训练】抛物线 一、选择题 1．(2018 黑龙江第八中学月考)已知抛物线 C：y＝x2 8 的焦点为 F， A(x0，y0)是 C 上一点，且|AF|＝2y0，则 x0＝( ) A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】D 【解析】由 y＝x2 8 得 x2＝8y， ∴抛物线 C 的准线方程为 y＝－2， 焦点为 F(0,2)． 由抛物线的性质及题意，得|AF|＝2y0＝y0＋2.解得 y0＝2， ∴x0＝±4.故选 D. 2．(2018 甘肃张掖一诊)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物 线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 根据题意可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．(2018 西安质检)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过点(－ 1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) 【答案】B 【解析】抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－p 2 且过点(－1,1)，故 －p 2 ＝－1，解得 p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． 4．(2018 云南昆明一中期末)已知点 F 是抛物线 C：y2＝4x 的焦 点，点 A 在抛物线 C 上，若|AF|＝4，则线段 AF 的中点到抛物线 C 的准线的距离为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由题意易知 F(1,0)，点 F 到准线的距离为 2，点 A 到准 线的距离为|AF|＝4，则线段 AF 的中点到抛物线 C 的准线的距离为 2＋4 2 ＝3. 5．(2018 昆明调研)已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，如果OA → ·OB → ＝－12，那么抛物线 C 的方程为( ) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 【答案】C 【解析】由题意，设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，直线方程为 x ＝my＋p 2 ， 联立 y2＝2px， x＝my＋p 2 消去 x，得 y2－2pmy－p2＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 得OA → ·OB → ＝x1x2＋y1y2＝ my1＋p 2 · my2＋p 2 ＋y1y2＝m2y1y2＋pm 2 (y1 ＋y2)＋p2 4 ＋y1y2＝－3 4p2＝－12⇒p＝4，即抛物线 C 的方程为 y2＝8x. 6．(2018 九江一模)已知抛物线 y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则 该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【答案】B 【解析】∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为 p 2 ，0 ，∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y＝x－p 2 ，即 x＝y＋p 2.将其代入 y2＝2px，得 y2＝2py ＋p2， 即 y2－2py－p2＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝2p，∴y1＋y2 2 ＝p＝2. ∴抛物线的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1. 7．(2018 上饶四校联考)设抛物线 C：y2＝3px(p>0)的焦点为 F， 点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线 C 的方程为( ) A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x 【答案】C 【解析】∵抛物线 C：y2＝3px(p>0)的焦点为 F 3p 4 ，0 ，∴|OF| ＝3p 4 ， ∵以 MF 为直径的圆过点(0,2)，设 A(0,2)，连接 AF，AM，可得 AF⊥AM，在 Rt△AOF 中，|AF|＝ 4＋9p2 16 ， ∴sin∠OAF＝|OF| |AF| ＝ 3p 4 4＋9p2 16 . 根据抛物线的定义，得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于点 A，∴ ∠OAF＝∠AMF，可得在 Rt△AMF 中，sin∠AMF＝|AF| |MF| ＝ 3p 4 4＋9p2 16 . ∵|MF|＝5，|AF|＝ 4＋9p2 16 ， ∴ 4＋9p2 16 5 ＝ 3p 4 4＋9p2 16 . 整理，得 4＋9p2 16 ＝15p 4 ，解得 p＝4 3 或 p＝16 3 ， ∴C 的方程为 y2＝4x 或 y2＝16x. 8．(2018 赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y2＝2x 的 焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的 M 的坐 标为( ) A．(0,0) B. 1 2 ，1 C．(1， 2) D．(2,2) 【答案】D 【解析】本题考查抛物线的定义，过 M 点作左准线的垂线(图略)， 垂足是点 N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当 A，M，N 三点共线时， |MF|＋|MA|取得最小值，此时 M(2,2)． 二、填空题 9．(2018 江苏南京月考)已知点 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，该抛 物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离为 5，则直线 AF 的斜率 为__________． 【答案】4 3 【解析】由抛物线定义及题意，得 xA＋1＝5，解得 xA＝4.又因为 点 A 位于第一象限，所以 yA＝4，所以 kAF＝4－0 4－1 ＝4 3. 10．(2018 合肥调研)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆 x2＋y2 －6x－7＝0 相切，则 p 的值为________． 【答案】2 【解析】抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－p 2 ， 圆 x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为 4. 又因为抛物线 y2＝2px(p>0)的准线与圆 x2＋y2－6x－7＝0 相切， 所以 3＋p 2 ＝4，解得 p＝2. 11．(2018 山西四校三联)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦长|AB|为________． 【答案】8 【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是 F(1,0)， 所以直线 AB 的方程是 y＝x－1. 联立 y2＝4x， y＝x－1 消去 y，得 x2－6x＋1＝0， 所以 x1＋x2＝6.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 三、解答题 12．(2018 沈阳模拟)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上相异两点， P，Q 到 y 轴的距离的积为 4，且OP → ·OQ → ＝0. (1)求该抛物线的标准方程； (2)过点 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为 T， 且 Q 为线段 RT 的中点，试求弦 PR 长度的最小值． 【解】(1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∵OP → ·OQ → ＝0，则 x1x2＋y1y2＝0. 又点 P，Q 在抛物线上， ∴y21＝2px1，y22＝2px2， 代入，得y21 2p·y22 2p ＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2， ∴|x1x2|＝y1y22 4p2 ＝4p2. 又|x1x2|＝4，∴4p2＝4，p＝1， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2x. (2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 x＝my＋a， 联立方程组 x＝my＋a， y2＝2x， 消去 x，得 y2－2my－2a＝0， ∴ y1＋y2＝2m， y1y2＝－2a. ① 设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0)， 则可设直线 PR 的方程为 x＝ny＋b， 并设 R(x3，y3)，同理可知 y1＋y3＝2n， y1y3＝－2b， ② 由①②可得y3 y2 ＝b a. 由题意，得 Q 为线段 RT 的中点， ∴y3＝2y2.∴b＝2a. 又由(1)，知 y1y2＝－4，代入①， 可得－2a＝－4，∴a＝2. ∴b＝4，y1y3＝－8. ∴|PR|＝ 1＋n2|y1－y3| ＝ 1＋n2· y1＋y22－4y1y3 ＝2 1＋n2· n2＋8≥4 2. 当 n＝0，即直线 PR 垂直于 x 轴时， |PR|取最小值 4 2.