【数学】河北省张家口市崇礼县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试试题（解析版） 9页

河北省张家口市崇礼县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1.下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】棱锥的定义为：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.‎ 根据棱锥的定义，B 、C 、D选项中的几何图形是棱锥，A选项中的几何图形是由两个棱锥组合而成的，所以不是棱锥;‎ 故选：A ‎2.已知关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时,不等式可化为,其恒成立 当时,要满足关于的不等式任意恒成立,‎ 只需 解得:.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 故选:A.‎ ‎3.设，为正数，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，‎ ‎，‎ 当且仅当时，即取等号，.‎ 故选：D ‎4.已知等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，则a10的值是（　　）‎ A. 16 B. ‎14 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵是等比数列，∴， ∴．‎ 故选D．‎ ‎5.数列的前项和为,若,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,故选A.‎ ‎6.已知向量，若向量与向量共线，则m的值为（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为向量与向量共线，‎ ‎∴，由于，不共线，‎ ‎∴，∴，‎ 故选：A.‎ ‎7.已知向量，且，则m=( )‎ A. −8 B. −6‎ C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，又，‎ ‎∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．‎ 故选D．‎ ‎8.在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）‎ A. 长方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，因为，，，‎ ‎∴++，‎ ‎∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形，故选D．‎ ‎9. 如图所示的直观图的平面图形ABCD是（ ）‎ A. 任意梯形 B. 直角梯形 ‎ C. 任意四边形 D. 平行四边形 ‎【答案】B ‎【解析】根据直观图可知，BC，AD两条边与横轴平行且不等，‎ 边AB与纵轴平行，‎ ‎∴AB⊥AD，AB⊥BC ‎ ‎∴平面图形ABCD是一个直角梯形，‎ 故选B．‎ ‎10.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，，，‎ ‎∴由正弦定理可得：，‎ ‎∵，为锐角，∴∴.‎ 故选C.‎ ‎11.若设、为实数，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由基本不等式可得，又因为，所以（当且仅当等号成立）‎ 故答案为D ‎12.数列，，，…，，…的前n项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎===‎ 故选B．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设且，求的最小值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，‎ ‎.‎ 当且仅当，即时，取最小值.‎ ‎14.已知、都是等差数列，若，，则______．‎ ‎【答案】21.‎ ‎【解析】∵、都是等差数列， 若，， 又∵， ， 故答案为：21.‎ ‎15.已知向量,夹角为,且,则=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎16.如图，在正三棱柱中，，则四棱锥的体积是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在正三棱柱中，，‎ 则正三棱柱的体积为，‎ 三棱锥的体积为，‎ 所以四棱锥的体积是.‎ 故答案为：.‎ 三、解答题（共70分，解答时写出文字说明、证明过程或验算步骤．）‎ ‎17. △ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ‎ ‎∴2b=a+c， ‎ 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC， ‎ ‎∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ‎ ‎∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； ‎ ‎（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∴cosB==≥=，‎ 当且仅当a=c时等号成立， ‎ ‎∴cosB的最小值为．‎ ‎18.如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为，上栏与下栏的框内高度（不含铝合金部分）的比为，此铝合金窗占用的墙面面积为.该铝合金窗的宽与高分别为，，铝合金窗的透光面积为.‎ ‎（1）试用，表示；‎ ‎（2）若要使最大，则铝合金窗的宽与高分别为多少？‎ 解：（1）铝合金窗宽为，高为，，‎ ‎， ‎ 又设上栏框内高度为，则下栏框内高度为，则，‎ 透光部分的面积 ‎（2），‎ 当且仅当时等号成立，此时，代入式得，从而，‎ 即当，时，取得最大值 铝合金窗的宽为，高为时，可使透光部分的面积最大.‎ ‎19.已知等差数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ 解:（1）设数列的公差为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ 解得，.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎20.已知与的夹角为120°．‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）x为何值时，与垂直？‎ 解:（1）．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，即．‎ 所以当时，与垂直．‎ ‎21.求下列函数的最值：‎ ‎（1）已知函数，求此函数的最大值 ‎（2）已知，求的最小值．‎ 解:（1）因，所以．‎ 则，‎ 当且仅当即时，取等号．‎ 因此当时，函数有最大值．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 所以的最小值为12‎ ‎22.在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ 解:（1）由得：，即： ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 的取值范围为：‎