2020_2021学年新教材高中数学第二章函数1函数概念课件北师大版必修第一册 42页

2.1 　函数概念 激趣诱思 知识点拨 一个人的体重 ( 千克 ) 与身高 ( 厘米 ) 有一定 的关系 , 民间有一个粗略的公式 , 根据身高算出正常的体重 : 男性标准体重 ( 千克 ) = 身 高 ( 厘米 ) - 100, 女性标准体重 ( 千克 ) = 身 高 ( 厘米 ) - 102 . 下表给出的 是 我国成年 女 子 标准 体重的参照数据 . 请算算你体重正常吗 ? 如果你算出来的数据与标准体重差距较大 , 就说明你太胖或者太瘦了 ! 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 一、函数 1 . 变量观点的定义 如果在一个变化过程中 , 有两个变量 x 和 y , 对于变量 x 的 　　　　　 , 变量 y 都有 　　　　　　　　　　 和它对应 , 那么 y 就是 x 的函数 , 其中 x 是自变量 , y 是因变量 .   2 . 集合语言的定义 每一个 值 唯一确定的值 非空数集 每一个 唯一确定 激趣诱思 知识点拨 名师点 析 1. A , B 都是非空数集 , 因此定义域 ( 或值域 ) 为空集的函数不存在 . 2. 函数 定义中强调 “ 三性 ”, 任意性、存在性、唯一性 . 即对于非空数集 A 中的任意一个 ( 任意性 ) 元素 x , 在集合 B 中都有 ( 存在性 ) 唯一 ( 唯一性 ) 确定的元素 y 与之对应 . 这 “ 三性 ” 只要有一个不满足 , 便不能构成函数 . 3. 符号 y=f ( x ) 是 “ y 是 x 的函数 ” 的数学表示 , 不能认为 “ y 等于 f 与 x 的乘积 ”, 应理解为 : x 是自变量 , f 是对应关系 ( 可以是解析式、图象、表格 , 也可以是文字描述 ) . 4. 函数符号 f ( x ) 表示的对应关系与字母 f 无关 , 也可以用 g , F , H 等表示 ; 同样 , 自变量 x 也可以用 t , m , n 等表示 . 5. f ( a ) 表示当 x=a 时函数 f ( x ) 的值 , 是一个常量 , 而 f ( x ) 是自变量 x 的函数 , 表示的是变量 , f ( a ) 是 f ( x ) 的一个特殊值 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 函数的这两种定义方法有什么异同点 ? 提示 : (1) 不同点 : 初中定义是从变量变化的角度来刻画两个变量之间的对应关系 , 强调变量的依赖关系 , 生动直观 , 是客观的、动态的 ; 高中定义是从集合间的对应关系的角度来刻画两个非空数集间的对应关系 , 强调具体的对应关系 , 细致入微 , 是微观的、静态的 . (2) 相同点 : 两种定义满足的条件是相同的 , 即 “ 变量 x 的每一个值 ” 以及 “ A 中的任意数 x ” 都有唯一的 “ y 值 ” 及 “ 数 y ” 分别与之对应 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 判断下列从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是否 是定义 在集合 A 上 的 一个 函数 ? 解 : (1) 不是 . 对 A 中元素 0, 在 f 作用下 , B 中没有元素与之对应 . (2) 是 . 符合函数定义 . (3) 不是 . 对 A 中元素 4, B 中有 2 个元素与之对应 . 激趣诱思 知识点拨 二、同一个函数 由函数定义知 , 由于函数的 值域 由 函数 的定义域和对应 关系 来 确定 , 这样确定一个函数就只需两个要素 : 定义域和对应关系 . 因此 , 定义域和对应关系为 “ y 是 x 的函数 ” 的两个基本条件 , 缺一不可 . 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时 , 这两个函数才是同一个函数 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 自变量和因变量用什么字母表示与函数无关 , 不影响两个函数的关系 . 两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的 . 只有当两个函数的定义域和 对应 关系 都 分别相同时 , 这两个函数才是同 一 个 函数 , 这就是说 : (1) 定义域不同 , 两个函数也就不同 ; (2) 对应 关系 不同 , 两个函数也是不同的 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 如果两个函数的定义域和值域分别相同 , 这两个函数一定是同 一 个 函数 吗 ? 提示 : 不一定是同一函数 . 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 . 如函数 y= 2 x 和函数 y=- 3 x+ 1, 它们的定义域和值域都是 R , 但显然不是同一个函数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 函数的定义 例 1 下列对应是实数集 R 到 R 上的一个函数的是 　　　　　 . ( 填序号 )   ① ④ 反思感悟 结合函数的定义 , 对集合 A 中任意一个 x , 判断在集合 B 中是否有唯一确定的 y 值与之对应 . 只能 “ 一对一 ” 或 “ 多对一 ”, 不能 “ 一对多 ” . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1 集合 A= { x| 0 ≤ x ≤ 4}, B= { y| 0 ≤ y ≤ 2}, 下列不表示从 A 到 B 的函数的是 ( 　　 ) 答案 : C 　 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域 : 分析 观察函数解析式的特点 → 列不等式 ( 组 )→ 求自变量的取值 范围 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 求函数的定义域时 , 常有以下几种情况 : (1) 如果函数 f ( x ) 是整式 , 那么函数的定义域是实数集 R ; (2) 如果函数 f ( x ) 是分式 , 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合 ; (3) 如果函数 f ( x ) 是二次根式 , 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合 ; (4) 如果函数 f ( x ) 是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的 , 那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合 ( 即求各式子自变量取值集合的交集 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 求抽象函数、复合函数的定义域 例 3 (1) 若函数 f ( x ) 的定义域为 ( - 1,2), 则函数 f (2 x+ 1) 的定义域为 　　　　 .   (2) 若函数 f (2 x+ 1) 的定义域为 ( - 1,2), 则函数 f ( x ) 的定义域为 　　　　 .   (3) 若函数 f (2 x+ 1) 的定义域为 ( - 1,2), 则函数 f ( x- 1) 的定义域为 　　　　 .   分析 (1) f ( x ) 的定义域为 ( - 1,2), 即 x 的取值范围为 ( - 1,2), f (2 x+ 1) 中 x 的取值范围 ( 定义域 ) 可由 2 x+ 1 ∈ ( - 1,2) 求得 . (2) f (2 x+ 1) 的定义域为 ( - 1,2), 即 x 的取值范围为 ( - 1,2), 由此求得 2 x+ 1 的取值范围即为 f ( x ) 的定义域 . (3) 先由 f (2 x+ 1) 的定义域求得 f ( x ) 的定义域 , 再由 f ( x ) 的定义域求 f ( x- 1) 的定义域 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (2) 由 - 1