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- 2021-05-27 发布
直线、平面平行的判定和性质
审稿:
【考纲要求】
1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；
2、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．
3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
【知识网络】
直线、平面平行
判定定理
性质定理
线面平行
面面平行
判定定理
性质定理
【考点梳理】
考点一、直线与平面平行的判定
1、判定定理：
（1）内容： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
（2）符号语言：
2、判定直线与平面平行，主要有三种方法：
（1）利用定义（常用反证法）；
（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。
要点诠释：
线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
考点二、直线与平面平行的性质
1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
2、符号语言：．
考点三、平面与平面平行的判定
1、 面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．
2、 图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．
3、 平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．
4、 符号语言：
5、判定平面与平面平行的常用方法：
①利用定义（常用反证法）；
②利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；
③利用面面平行的传递性：
④利用线面垂直的性质：。
考点四、平面与平面平行的性质
1、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
1、 符号语言：
2、 面面平行的另一性质：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。
【典型例题】
类型一、直线与平面平行的判定
例1、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。
【证明】法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，
则MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE。
法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，
∴
连结NH，由BF=AC，FN=AM，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE。
举一反三：
【变式1】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
A
B
C
D
N
F
E
M
A11
B11
D11
C11
求证:MN∥平面AA1B1B.
法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。
法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，
连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.
法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行，
从而证得MN∥平面ABB1A1.
【点评】证明线面或面面平行的时候一定要注意 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的互相转化。
【变式2】
直线、平面平行的判定与性质例1】
如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。
证明：PQ//平面BCC1B1
【证明】方法一：如图，取B1B中点E,BC中点F，连接PE、QF、EF，
因为在三角形A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，
所以PEA1B1，
同理，QFAB，
又因为A1B1AB,所以PEQF
所以四边形PEFQ是平行四边形，所以PQ//EF.
又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，所以PQ//平面BCC1B1.
方法二：如图，取AB的中点E,连接PE,QE,因为P是A1B的中点，
所以PE//A1A,有A1A//BB1,
所以PE//BB1
又PE平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1，同理QE//平面BCC1B1，
有PE、QE平面PQE,PEQE=E,
所以平面PQE//平面BBC1B1，又PQ平面PQE,所以PQ//平面BCC1B1.
类型二、直线与平面平行的性质
例2(2018 河南一模)如图，在三棱柱中，平面ABC，，E、F分别在线段和AC上，，
(1)求证：
(2)试探究满足EF//平面的点F的位置，并给出证明.
证明：(1) 平面ABC,
又，
平面
(2)当AF=3FC时，平面
证明如下：在平面内过E作EG//交于G，连接AG.
又且
AF//EG且AF=EG
四边形AFEG为平行四边形
EF//GA
又平面，平面
EF//平面
举一反三：
【变式】(2018 普陀区二模)在正方体中，E是棱的中点.
(1)求直线BE与平面所成角的大小.(结果用反三角函数表示)
(2)在棱上是否存在一点F，使得//平面，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)如图(a)，取的中点M，连接EM，BM，因为E为的中点，四边形为正方形，所以EM//AD
又在正方体中. 平面平面
从而BM为直线在平面上的摄影
为直线BE与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2, ,
在中，
即直线BE与平面所成的角是.
(2)在棱上存在点F，使//平面
事实上，如图(b)所示，分别取和CD的中点F,G,连接EG，BG，CD1，FG
因为A1D1//B1C1//BC且A1D1=BC
所以四边形A1BCD1为平行四边形
因此D1C//A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG//D1C从而EG//A1B
这说明，A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F,G分别为C1D1和CD的中点，所以FG//C1C//B1B,且FG=C1C=B1B因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F//BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F//平面A1BE
类型三、平面与平面平行的判定
例3、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
A1
A
B
C
B1
C1
E
F
M
N
D1
D
【解析】(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN
AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E
∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角
易求得 cos∠AMN＝
【点评】本题直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行。
举一反三：
【变式】
已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.
(I) 求证：平面平面；
（II）求证：平面.
【证明】（Ⅰ）由已知可得，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
又 分别是的中点，
，
平面，平面，
平面；
平面，平面，
平面∥平面 .
(Ⅱ) 三棱柱是直三棱柱，
面，又面，
.
又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点，
是正三角形，，
而， 面 ，面 ，
面 ，
故 .
四边形是菱形，，
而，故 ,
由面，面，
得 面 .
类型四、平面与平面平行的性质及应用
例4、如图，已知α∥β，异面直线AB、CD和平面α、β分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)E、F、G、H共面；
(2)平面EFGH∥平面α.
证明：(1)∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH∥BD且EH＝BD.
同理，FG∥BD且FG＝BD，
∴FG∥EH且FG＝EH.
∴四边形EFGH是平行四边形，即E、F、G、H共面．
(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，
设两平面交于过点A的直线AD′.
∵α∥β，∴AD′∥BD.
又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.
∴EH∥平面α，
同理，EF∥平面α，
又EH∩EF＝E，EH⊂平面EFGH，
EF⊂平面EFGH，
∴平面EFGH∥平面α.
举一反三：
【变式1】已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥．
【解析】1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD
∵α∥β ∴AC∥BD 又∵
∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β
2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD
在AA'截点O，使
∴EO∥BA' OF∥A'D
∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点
∴EF∥α∥β
【变式2】如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．
B1
A1
C1
β
α
B
C
A
O
求A1B1C1的面积．
【解析】∵α∥β AA1∩BB1＝O ∴AB∥A1B1
同理AC∥A1C1 BC∥B1C1
∴△ABC∽△A1B1C1 S△ABC＝AB·AC·sin60°＝
∴
∴＝