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- 2021-05-26 发布
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学生姓名
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学科
数学
年级
高三
教材版本
人教版
阶段
第（）周
本人课时统计
第（）课时
共（）课时
课题名称
不等式选讲（三）
课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间
教学目标
同步教学知识内容
消灭模糊的知识
个性化学习问题解决
强化技巧
教学重点
数列题目的思维方式
教学难点
培养学生数列这里，好的思维方式：）
教学过程
教师活动
第三章
第一部分 柯西不等式
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，
其中等号当且仅当时成立。
证明：
几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，
所以柯西不等式的几何意义就是：，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
分析：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
证明：构造二次函数：
即构造了一个二次函数：
由于对任意实数，恒成立，则其，
即：，
即：，
等号当且仅当，
即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
如果（）全为0，结论显然成立。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当
变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
二、典型例题：
例1、已知，，求证：。
例2、设，求证：。
例3、设为平面上的向量，则。
例4、已知均为正数，且，求证：。
方法1：
方法2：（应用柯西不等式）
例5：已知，，…，为实数，求证：。
分析：
推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当
时，平方和取最小值。
补充性例题：（根据学生情况选讲）
1、设x1，x2，…，xn >0, 则
2、设（i=1，2，…，n）且 求证: ．
3、设a为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值．
4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．
同步练习：
1、已知：，,证明：。
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。
证明：由 代入=
可得
∵ ∴△≥0 即
化简可得 ： ∵ ∴
同理可得： ，
由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。
3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。
4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。
5、设x，y，zÎR，求的最大值。
6、ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形內部一点P，P到三边的距离分別为x，y，z，求x2+y2+z2的最小值。
解：s=
DABC面积=
且DABC=DPAB+DPBC+DPAC
ÞÞ4x+5y+6z=
由柯西不等式
(4x+5y+6z)2³(x2+y2+z2)(42+52+62)
Þ³(x2+y2+z2)´77
Þx2+y2+z2³
7、设三个正实数a,b,c满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。
8、求证个正实数a1，a2，…，an满足[来源:Zxxk.Com]
9、已知,且求证: 。
10、设,求证: 。
11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值．
第二部分：排序不等式
一、引入：
1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数：≤≤，≤≤，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
对 应 关 系
和
备 注
（，，）
（，，）
同序和
（，，）
（，，）
乱序和
（，，）
（，， ）
乱序和
（，，）
（， ，）
乱序和
（，，）
（，，）
乱序和
（，，）
（，， ）
反序和
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：
同序和最大，反序和最小。
2、对引例的验证：
对 应 关 系
和
备 注
（1，2，3）
（25，30，45）
同序和
（1，2，3）
（25，45，30）
乱序和
（1，2，3）
（30，25，45）
乱序和
（1，2，3）
（30，45，25）
乱序和
（1，2，3）
（45，25，30）
乱序和
（1，2，3）
（45，30，25）
反序和
3、类似的问题：
5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟， 8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数：，，，…，与，，，…，，且它们满足：
≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，
若，，，…，是，，，…，的任意一个排列，则和数在，，，…，与，，，…，同序时最大，反序时最小，即：
，
等号当且仅当或时成立。
分析：用逐步调整法
三、典型例题：
例1、已知为正数，求证：。
例2、设，，，…，为正数，求证：
。
同步练习：
1、求证：。
2、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc ．
3、若a>0,b>0，则．
4、在△ABC中，求证：．（IMO）
5、若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证：．
6、若x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤，则．
第三部分：平均不等式
一、引入：
1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：
1．指出定理适用范围：
强调取“=”的条件。
2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵ ∴
即： 当且仅当时
注意：1．这个定理适用的范围：；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）
证明：∵
∵ ∴上式≥0 从而
指出：这里 ∵就不能保证。
推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）
证明：
4、算术—几何平均不等式：
①．如果 则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；
②．基本不等式： ≥（）
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
③．的几何解释：
以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB 则，
从而，而半径。
二、典型例题：
例1、已知为两两不相等的实数，求证：。
证：∵
以上三式相加：
∴
例2、设为正数，求证：。
例3、设，，，…，为正数，证明：。
例4、若，设
求证：
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：∵
∴即：（俗称幂平均不等式）
由平均不等式
即：
综上所述：
同步练习：
1、若 求证
证：由幂平均不等式：
第四部分：利用平均不等式求最大（小）值
一、引入：
1、重要的结论：
已知x，y都是正数，则：
(1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；
(2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值。
二、典型例题：
例1、当取什么值时，函数有最小值？最小值是多少？
例2、求函数（）的最小值。
例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？[来源:Z&xx&k.Com]
分析：
例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是，那么电灯距离桌面的高度等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：，这里为常数，是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）
分析：
例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一：
∴
解二：当即时
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）
正确的解法是：
当且仅当即时
例6、若，求的最值。
解：
∵ ∴
从而
即。
例7、设且，求的最大值
解：∵ ∴
又
∴
即
例8、已知且，求的最小值
解：
当且仅当即时
同步练习：
1．求下列函数的最值：
1° 、 (min=6)
2°、 ()
2．1°、时求的最小值，的最小值
2°、设，求的最大值(5)
3°、若, 求的最大值
4°、若且，求的最小值
3．若，求证：的最小值为3
4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）
阅读性练习：
1、将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，
要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为
则其容积为
当且仅当即时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)?
解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为
(万元)
年平均费用y=
当且仅当即n＝10时取等号。
答：这种汽车使用10年报废最合算。
3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ>1)，画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？(2001年全国文科高考题)
解：设画面的宽为x cm，则画面的高为cm，设纸张面积为S
S=
当且仅当x＝，即x= 55 cm，此时高
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。
评注：在应用均值不等式解决这类实际问题时，应注意：
① 设变量，一般把要求最大值和最小值的变量设为函数；
② 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
③ 在定义域内，求函数的最大值或最小值；正确写出答案。
第五部分：利用柯西不等式求最大（小）值
一、引入：
1、柯西不等式：。
二、典型例题：
例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？
例2、如图，等腰直角三角形AOB的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P的位置。
分析：
课后作业
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________
学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________
学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________
配合需求：家长___________________________________________________________________________
学管师_________________________________________________________________________
备 注
提交时间
教研组长审批
家长签名