高中人教a版数学必修4：习题课（三） word版含解析 3页

习题课(三) 一、选择题 1．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同；②若|a|＝|b|， 则 a＝b；③若AB→＝DC→ ，则四边形 ABCD 是平行四边形；④平行四边形 ABCD 中，一定有AB→ ＝DC→ ；⑤若 m＝n，n＝k，则 m＝k；⑥若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中不正确命题的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有 起点相同、终点相同，故①不正确；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等， 而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确；③也不正确，因为 A、B、C、D 可能 落在同一条直线上；零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中，若 b＝0，则 a 与 c 就不一定平行了，因此⑥也不正确． 2．已知|AB→|＝10，|AC→|＝7，则|BC→|的取值范围是( ) A．[3,17] B．(3,17) C．(3,10) D．[3,10] 答案：A 解析：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB→与AC→共线时 的情况求解．即|AB→|－|AC→ |≤|BC→|≤|AC→|＋|AB→|，故 3≤|BC→|≤17. 3．对于非零向量 a，b，下列说法不正确的是( ) A．若 a＝b，则|a|＝|b| B．若 a∥b，则 a＝b 或 a＝－b C．若 a⊥b，则 a·b＝0 D．a∥b 与 a，b 共线是等价的 答案：B 解析：根据平面向量的概念和性质，可知 a∥b 只能保证 a 与 b 的方向相同或相反，但 模长不确定，因此 B 错误． 4．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5 答案：A 解析：将已知两式左右两边分别平方，得 a2＋2a·b＋b2＝10 a2－2a·b＋b2＝6 ，两式相减并除以 4，可 得 a·b＝1. 5．设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 ( ) A. 5 B. 10 C．2 5 D．10 答案：B 解析：∵a⊥c，∴2x－4＝0，x＝2，又 b∥c，∴2y＋4＝0，∴y＝－2，∴a＋b＝(x＋1,1 ＋y)＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝ 10. 6．对于非零向量α，β，定义一种向量积：α°β＝α·β β·β.已知非零向量 a，b 的夹角θ∈ π 4 ，π 2 ， 且 a°b，b°a 都在集合 n 2|n∈N 中，则 a°b＝( ) A.5 2 或3 2 B.1 2 或3 2 C．1 D.1 2 答案：D 解析：a°b＝a·b b·b ＝|a|·|b|cosθ |b|2 ＝|a|cosθ |b| ＝n 2 ，n∈N①.同理可得 b°a＝b·a a·a ＝|a|·|b|cosθ |a|2 ＝|b|cosθ |a| ＝m 2 ，m∈N②.再由 a 与 b 的夹角θ∈ π 4 ，π 2 ，可得 cos2θ∈ 0，1 2 ，①②两式相乘得 cos2θ＝mn 4 ， m，n∈N，∴m＝n＝1，∴a°b＝n 2 ＝1 2 ，选 D. 二、填空题 7．若向量OA→ ＝(1，－3)，|OB→ |＝|OA→ |，OA→ ·OB→ ＝0，则|AB→|＝________. 答案：2 5 解析：因为|AB→|2＝|OB→ －OA→ |2＝|OB→ |2＋|OA→ |2－2OA→ ·OB→ ＝10＋10－0＝20，所以|AB→|＝ 20 ＝2 5. 8．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 3，a＋b＝( 3，1)，则向量 a＋b 与向量 a－b 的夹 角是________． 答案：2π 3 解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4， 故|a－b|＝2，因此 cos〈a－b，a＋b〉＝a－b·a＋b |a－b|·|a＋b| ＝1－3 4 ＝－1 2 ，故所求夹角是2π 3 . 9．设正三角形 ABC 的面积为 2，边 AB，AC 的中点分别为 D，E，M 为线段 DE 上的 动点，则MB→ ·MC→ ＋BC→ 2 的最小值为________． 答案：5 3 2 解析：设正三角形 ABC 的边长为 2a，因为正三角形 ABC 的面积为 2，所以 a2＝2 3 3 . 设 MD＝x(0≤x≤a)，则 ME＝a－x，MB→ ·MC→ ＋BC→ 2＝(MD→ ＋DB→ )·(ME→ ＋EC→)＋BC→ 2＝MD→ ·ME→ ＋ MD→ ·EC→ ＋DB→ ·ME→ ＋DB→ ·EC→ ＋BC→ 2＝－x(a－x)＋xacos120°＋(a－x)acos120°＋a2cos60°＋4a2＝ x2－ax＋4a2，当 x＝a 2 时，MB→ ·MC→ ＋BC→ 2 取得最小值 a 2 2－a×a 2 ＋4a2＝15 4 a2＝5 3 2 . 三、解答题 10．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与 b 的夹角是 120°. (1)求 a·b 及|a＋b|的值； (2)当 k 为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16， |a＋b|＝ a＋b2 ＝ a2＋b2＋2a·b ＝4 3. (2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即 16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得 k＝－7. 11．如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上一点，且OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ . (1)若AP→＝PB→，求 x，y 的值； (2)若AP→＝3PB→，|OA→ |＝4，|OB→ |＝2，且OA→ 与OB→ 的夹角为 60°，求OP→ ·AB→的值． 解：(1)若AP→＝PB→，则OP→ ＝1 2OA→ ＋1 2OB→ ， 故 x＝y＝1 2. (2)若AP→＝3PB→，则OP→ ＝1 4OA→ ＋3 4OB→ ， OP→ ·AB→＝ 1 4OA→ ＋3 4OB→ ·(OB→ －OA→ ) ＝－1 4OA→ 2－1 2OA→ ·OB→ ＋3 4OB→ 2 ＝－1 4 ×42－1 2 ×4×2×cos60°＋3 4 ×22 ＝－3. 能力提升 12．已知 A(1,0)，B(5，－2)，C(8,4)，D(4,6)，那么四边形 ABCD 为( ) A．正方形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 答案：D 解析：AB→＝(4，－2)，BC→＝(3,6)． AB→·BC→＝4×3＋(－2)×6＝0，故AB→⊥BC→. 又DC→ ＝(4，－2)，故 AB→＝DC→ . 又|AB→|＝ 20＝2 5，|BC→|＝ 45＝3 5，故|AB→|≠|BC→|，所以，四边形 ABCD 为矩形． 13．在平面直角坐标系中，已知三点 A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O 为坐标原点． (1)若△ABC 是直角三角形，求 t 的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，求|OD→ |的最小值． 解：(1)由题意得AB→＝(t－4,2)，AC→＝(2，t)，BC→＝(6－t，t－2)， 若∠A＝90°，则AB→·AC→＝0，即 2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2； 若∠B＝90°，则AB→·BC→＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0， ∴t＝6±2 2； 若∠C＝90°，则AC→·BC→＝0，即 2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解， ∴满足条件的 t 的值为 2 或 6±2 2. (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AD→ ＝BC→，设点 D 的坐标为(x，y)， 即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴ x＝10－t y＝t－2 ，即 D(10－t，t－2)， ∴|OD→ |＝ 10－t2＋t－22 ＝ 2t2－24t＋104， ∴当 t＝6 时，|OD→ |取得最小值 4 2.