【数学】2020届一轮复习人教版（理）第3章第6讲正弦定理和余弦定理学案 13页

第6讲　正弦定理和余弦定理 ‎1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 ‎2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 ‎3.三角形中常用的面积公式 ‎(1)S＝ah(h表示边a上的高)．‎ ‎(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．‎ ‎1.概念辨析 ‎(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2.小题热身 ‎(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 答案　D 解析　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－ ‎(舍去)，故选D.‎ ‎(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)‎ A.直角三角形 B．等腰三角形 C.等边三角形 D．钝角三角形 答案　A 解析　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin2A＝sin2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．‎ ‎(3)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．‎ 答案　4 解析　∵cosC＝，00，‎ 所以cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形.‎ ‎2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)‎ A.直角三角形 B．等腰非等边三角形 C.等边三角形 D．钝角三角形 答案　C 解析　∵＝，∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，‎ ‎∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cosA＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．‎ 条件探究1　把举例说明2中△ABC满足的条件改为“acosA＝bcosB”，判断△ABC的形状．‎ 解　因为acosA＝bcosB，‎ 所以sinAcosA＝sinBcosB，‎ 所以sin2A＝sin2B，‎ 又因为0<2A<2π，0<2B<2π，00)，‎ 则cosC＝＝<0，所以C是钝角，△ABC是钝角三角形.‎ ‎2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)‎ A.锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．不确定 答案　B 解析　根据正弦定理，由bcosC＋ccosB＝asinA得sinB·cosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，又因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，所以sinA＝1，由00，故cosB＝，∵0