人教版数学八年级上册《最短路径问题》随堂测试 4页

13.4 最短路径问题 基础巩固 1．有两棵树位置如图，树脚分别为 A，B.地上有一只昆虫沿 A—B 的路径在地面上爬行．小 树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶 C 处，问小鸟飞至 AB 之间何处 时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置． 2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将 球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB 内的 P 点，乙站在 OA 上，丙站 在 OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到 乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？ 3．如图所示，P，Q 为△ABC 边上的两个定点，在 BC 上求作一点 R，使△PQR 的周长最小． 4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边 OP 放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑， 去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地 A? 能力提升 5．公园内两条小河 MO，NO 在 O 处汇合，两河形成的半岛上有一处景点 P(如图所示)．现计 划在两条小河上各建一座小桥 Q 和 R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两 座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由． 6．如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A，B 到河岸 CD 的距离分别为 AC，BD，且 AC＝BD， 若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m. (1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出 该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？ 参考答案 1．解：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′交 AB 于点 E，则点 E 就是所求的点． 2．解：如图所示，(1)分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2； (2)连接 P1P2，与 OA，OB 分别相交于点 M，N. 因为乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，所以乙必须站在 OA 上的 M 处，丙必须站在 OB 上的 N 处才 能使传球所用时间最少． 3．解：(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P′； (2)连接 P′Q，交 BC 于点 R，则点 R 就是所求作的点(如图所示)． 4．解：如图，作小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A′，连接 AA′交 OP 于点 B， 则小明 行走的路线是小明→B→A，即在 B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地 A. 5．解：如图，作 P 关于 OM 的对称点 P′，作 P 关于 ON 的对称点 P″，连接 P′P″，分别 交 MO，NO 于 Q，R，连接 PQ，PR，则 P′Q＝PQ，PR＝P″R，则 Q，R 就是小桥所在的位置． 理由：在 OM 上任取一个异于 Q 的点 Q′，在 ON 上任取一个异于 R 的点 R′，连接 PQ′，P′Q′， Q′R′，P″R′，PR′，则 PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且 P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q ＋QR＋RP″，所以△PQR 的周长最小，故 Q，R 就是我们所求的小桥的位置． 6．解：(1)作法：如图作点 A 关于 CD 的对称点 A′； 连接 A′B 交 CD 于点 M.则点 M 即为所求的点． 证明：在 CD上任取一点 M′，连接 AM′，A′M′，BM′，AM， 因为直线 CD 是 A，A′的对称轴，M，M′在 CD 上，所以 AM＝A′M，AM′＝A′M′， 所以 AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B， 在△A′M′B 中，因为 A′M′＋BM′＞A′B， 所以 AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即 AM＋BM 最小． (2)由(1)可得 A′C＝AC＝BD， 所以△A′CM≌△BDM， 即 A′M＝BM，CM＝DM， 所以 M 为 CD 的中点，且 A′B＝2AM， 因为 AM＝500 m， 所以 A′B＝AM＋BM ＝2AM＝1 000 m. 即最短路程为 1 000 m.