华师版数学八年级下册同步课件-第19章 矩形、菱形与正方形-19菱形 25页

第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 1 菱形的性质 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧. 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩 形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边 形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 1 菱形的性质 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小 保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等, 这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形一组邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. ★菱形的定义 思考 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪 出一个菱形的纸片？观看下面视频： 活动1 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边的长度有 什么关系?菱形的两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 活动2 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与 BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B CO D 证一证 （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 对称性：是中心对称图形. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 ★菱形的性质 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B 的大小，并说明△ABC是等边三角形. 解：在菱形ABCD中， AB＝BC， ∠B＋∠BAD＝180°. 又已知∠BAD＝2∠B， 可得∠B＝60°. 所以△ABC是一个角为60°的等腰三角 形，即为等边三角形. 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于 点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. 因为AC＝6cm，BD＝12cm， 所以AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 所以菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)． 1 2 1 2  2 2 2 23 6 3 5 cm .AB AO BO     5 5 例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 证明：连结AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 例3 如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝ 5，则△ABD的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝ 120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两 条对角线AC与BD的长. 解：在菱形ABCD中， ∵∠ABC+∠BAD＝180°， 　∠BAD＝120°，∴ ∠ABC＝60°. 又∵AB＝BC，∴ △ABC是等边三角形. ∴AC＝AB＝2， 在Rt△ABO中，AB＝２，AO＝1, 2 2 2 22 1 3BO AB AO     2 2 3BD BO  CB DA O 例4 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行 四边形面积公式计算菱形ABCD的面积? A B C D 能.过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. E 2 菱形的面积 问题1 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那 么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢? 思考 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD. 1 2 1 2 1 2 1 2 问题2 ★菱形的面积 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直 角三角形面积的4倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的 交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形 ABCD两对边的距离h. 解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12， 所以S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30， 所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 因为 又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h， 所以13h＝120，得h＝ . 2 2 2 25 12 13,AB AO BO     1 2 1 2 120 13 例5 如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和 8cm，则这个菱形的高DE为（　　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B 练一练 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则 △ABD的周长等于 （　　） A.18 B.16 C.15 D.14 B 3.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 ______. （2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝ _______. （3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______. 3cm 30° A B C O D 5cm (4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角 线长为11cm，则菱形的周长为______.44cm (5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比 为1∶ 2 ,那么菱形最短的那条对角线长为_______.8厘米 A B C O D 4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm. 求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°, (2)菱形ABCD的面积 ∴AC=2AE=2×12=24(cm). DB C A E 菱形的 性质 菱 形 的 性 质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条 对角线乘积的一半 角 对 角 线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻 角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角