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- 2021-05-26 发布
专题03 三角恒等变换解三角形
知识必备
一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
（4）：
（5）：
（6）：
2．二倍角公式
（1）：
（2）：
（3）：
3．公式的常用变形
（1）；
（2）降幂公式：；；
（3）升幂公式：；；；
（4）辅助角公式：，其中，
二、简单的三角恒等变换
1．半角公式
（1）
（2）
（3）
【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：
2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式：学
；
；
；
.
（2）和差化积公式：
；
；
；
.
核心考点
考点一 三角函数式的化简与求值
【例1】（三角函数式的化简）__________．
【答案】1
【解析】
．
故答案为1．
备考指南
1．三角化简、求值的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
2．三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
3．在化简时要注意角的取值范围.
【例2】（给角求值）的值是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，故选B．
备考指南
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.
【例3】（给值求值）“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
备考指南
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
【例4】（给值求角）已知，，，，则角的值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，，∴，
∵，，，故选D.
备考指南
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.
考点二 三角恒等变换的应用
【例5】（与三角函数定义的综合应用）如图，点为单位圆上一点，，已知点沿单位圆按逆时针方向旋转到点，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，cos（+）=，sin（+）=，∈（0，）．
∴cos（+2）=2﹣1=2×﹣1=﹣，即﹣sin2=﹣，∴sin2=，
故选B．
备考指南
1．理解三角函数定义.
2．熟练掌握三角恒等变换公式——二倍角公式，以及诱导公式.
【例6】（在三角形中的应用）在三角形中，的值是 .
【答案】1
备考指南
1．掌握三角恒等变换公式的逆用.
2．熟悉并记忆三角形中隐含条件：三角形内角和为π.
【例7】（在三角函数图象与性质中的应用）已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值.
【解析】（1），
∵，
∴，
∴，
∴函数的值域为.
（2），
当时，，
∵在区间上是增函数，且，
∴，即，化简得，
∵，∴，
∴，解得，因此，的最大值为.
备考指南
1．熟练应用三角恒等变换公式变形.
2．掌握三角函数的图象与性质.
【例8】（在解三角形中的应用）在中，角的对边分别是，若，，则的周长为
A．5 B．6
C．7 D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，即，
∵，∴，故的周长为，故选A．
备考指南
1．熟练应用三角恒等变换公式变形.
2．掌握正、余弦定理.
能力突破
1．若，，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】A
2．已知，为锐角，且，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
，
∴，
,选C．
3．设,且满足,则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，又，则，所以，所以，故选B．学！
4．已知为正整数，，且，则当函数取得最大值时，___________．
【答案】
【解析】由条件知，则由，得＝，即，解得或（舍去），则．因为，所以，则当，即时，函数取得最大值．
5．设，且满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）由（1）可得：，
∵，
∴，
∴.
∴.
高考通关
1．（2016新课标Ⅱ理）若cos(−α)=，则sin 2α=
A． B．
C．− D．−
【答案】D
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
2．（2016新课标Ⅲ理）若，则
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】方法一：由tan α=,cos2α+sin2α=1,得或,则sin 2α=2sin αcos α=,则cos2α+2sin 2α=+.
方法二：cos2α+2sin 2α=.故选A．
【方法点拨】三角函数求值：
①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；
②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
3．（2017北京理）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若
，则=___________.
【答案】
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
4．（2018新课标Ⅱ理）已知，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，所以，
因此
5．（2016四川理）cos2–sin2= .
【答案】
【解析】由三角函数的半角公式得，
【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解．
6．（2016浙江理）已知，则A=______，b=________．
【答案】，
【解析】，所以
【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和的值．
7．（2018江苏）已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．学！
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
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