高考数学全国一卷导数 3页

已知函数，为的导数．证明：‎ ‎（1）在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）有且仅有2个零点．‎ 分析：（1）设，则，在存在唯一极大值点的问题就转化为在有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。‎ （2） 这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即 ‎。‎ 首先来画一下函数图象。‎ 从图象上可以大致确定零点一个为一个在区间上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。‎ 解：（1）设，则，‎ ‎.‎ 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，设为.‎ 则当时，；当时，.‎ 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.‎ （2） 的定义域为.‎ ‎（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.‎ ‎（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得 ‎，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.‎ 又，，所以当时，.从而，在没有零点.‎ ‎（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.‎ ‎（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.‎ 综上，有且仅有2个零点.‎