2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷 (含解析) 26页

2020 年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 1. 利用数轴，比较 1， 2 ， 1.⸸ ， ⸸ ， ， 21 2 的大小正确的是 A. ⸸ < 1.⸸ < 21 2 < 1 < 2 < B. 1.⸸ < ⸸ < 1 < 21 2 < 2 < C. ⸸ < 1.⸸ < 21 2 < 2 < 1 < D. ⸸ < 1.⸸ < 1 < 21 2 < < 2 2. 某水利枢纽工程于 2014 年 9 月 25 日竣工，该工程设计的年发电量为 2.2⸸ 亿度， 2.2⸸ 亿这个 数用科学记数法表示为 A. 2.2⸸ 1 B. .22⸸ 1 C. 22.⸸ 1 D. 22⸸ 1 . 下图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是 A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是 A. ܽ ܽ െ 2ܽ B. ܽ ܽ 2 െ ܽ ⸸ C. ܽ ⸸ ܽ െ ܽ D. ܽ 2 െ ܽ ⸸. “今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六 . 问人数、物价各几何？”这是我国古代名 著 九章算术 中记载的古典名题，其题意是：有若干人一起买鸡 . 如果每人出 9 文钱，就多出 11 文钱；如果每人出 6 文钱，就相差 16 文钱 . 问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？若设买鸡的 人数为 x 人，则列方程正确的是 A. x 11 െ x 1 B. x 11 െ x 1C. x 11 െ x 1 D. x 11 െ x 1 . 某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码 头出发，第一艘快艇沿北偏西 方向航行 50 千米，第二艘快艇沿南偏 西 2 方向航行 50 千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一 艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是 A. 南偏东 2⸸ ， ⸸ 2 千米 B. 北偏西 2⸸ ， ⸸ 2 千米 C. 南偏东 ，100 千米 D. 北偏西 2 ，100 千米 . 如图，在平面直角坐标系中， 香䁨 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，OC 是 香䁨 的中线，点 B、C 在反比例函数 െ 2 的图象上，则 香䁨 的面积等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 . 用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是 ．，则桥下的水面宽 AB 为______m 2 1m 时，水面宽 CD 为 ，当水位上涨 2 1 െ 在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是 14. ，则该长方形的周长是___________cm． 不重叠无缝隙 分沿虚线又剪拼成一个矩形 ，剩余部 ܽ 1 的正方形 ܽ 1ʹ 的正方形纸片中剪去一个边长为 ܽ 2ʹ 如图，从边长为 1. . ” < ”或“ 填“ ___ 1 2 上的两点，则 െ ݔ < 是直线 䁨2 ， 香 11 点 12. 度． െ ，则 െ 2⸸ ， 䁨 െ ⸸ 若 ，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点， 香䁨 如图，直线 11. 后标价，再按标价打七折销售，则此时售价为______元． ⸸提 一件商品的原价为 a 元，提高 1. ______． . 2 1 െ 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分） C. D. A. B. 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78.0 分） 1⸸. 先化简，再求值： 2ܽ 1 2 4ܽܽ 1 ，其中 ܽ െ 1 ． 1. 将 5 个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有 3 个球，分别标有数字 2， 3，4；乙袋中有 2 个球，分别标有数字 2， 4. 从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球． 1 用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为 5 的概率． 2 摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？ 1. 六 一前夕某幼儿园园长到厂家选购 A、B 两种品牌的儿童服装每套 A 品牌服装进价比 B 品牌服 装每套进价多 25 元，用 2000 元购进 A 种服装数量是用 750 元购进 B 种服装数量的 2 倍，求 A、 B 两种品牌服装每套进价分别为多少元？ 1. 如图，PC 是 的直径，PA 切 于点 P，OA 交 于点 B，连 结 䁨. 已知 的半径为 2， െ ⸸ 1 求 香 的度数． 2 求 䁨 的长． 1. 某校七、八年级各有学生 400 人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查， 过程如下： 选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取 20 名学生，进行安全教育考试，测试成绩 百分 制 如下： 七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59 99 87 85 89 97 86 89 90 89 77 八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 分组整理，描述数据 1 按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级 20 名学生安全教育频数 分布直方图； 分析数据，计算填空 2 两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整； 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 ⸸. 88 89 2提八年级 ⸸.4 ______ ______ ______ 得出结论，说明理由． 估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人． 4 整体成绩较好的年级为______，理由为______ 至少从两个不同的角度说明合理性 ． 20. 如图，在正方形网格上有一个 香䁨 ，A、B、C 均为小正方形的顶点． 1 画 香䁨 关于直线 a 的对称图形 不写画法 ； 2 若网格上的每个小正方形的边长为 1，求所画出的对称图形的面积． 21. 如图 所示，空圆柱形容器内放着一个实心的“柱锥体” 由一个圆柱和一个同底面的圆锥组成 的几何体 . 现向这个容器内匀速注水，水流速度为 ⸸ʹ ，注满为止．已知整个注水过程中， 水面高度 ʹ 与注水时间 之间的关系如图 所示．请你根据图中信息，解答下列问题： 1 圆柱形容器的高为______ cm，“柱锥体”中圆锥体的高为______ cm； 2 分别求出圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积． 22. 如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 交 AF 于点 G， 连接 DG． 1 求证：四边形 EFDG 是菱形； 2 求证： 2 െ 1 2 香 ； 若 香 െ ， െ 2 ⸸ ，求 BE 的长． 23. 如图，正方形 ABCD 中，P 为 AB 边上任意一点， 香 于 E，点 F 在 DP 的延长线上，且 െ ， 连接 AF、BF， 䁨香 的平分线交 DF 于 G，连接 GC， 1 求证： 香 是等腰直角三角形； 2 求证： 香 െ 2 ． 24. 已知二次函数的图象经过 香2 、 12 两点，且对称轴为直线 െ 4. 设顶点为点 P，与 x 轴 的另一交点为点 B． 1 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； 2 如图 1，在直线 െ 2 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； 如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点 、P 两点除外 ，以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 ܰ 轴，交 PB 于点 ܰ. 将 ܰ 沿直线 MN 对折，得到 1ܰ.在动点 M 的运动过程中，设 1ܰ 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒．求 S 关于 t 的函数关系式． 【答案与解析】 1.答案：A 解析： 分析 利用绝对值的性质化简，再在数轴上表示出各数所在的位置，即可得出答案． 详解 解： െ ， 如图示， 所以 ． 故选 A． 点评 此题主要考查了实数与数轴、实数的大小比较以及绝对值的性质，在数轴上正确表示出各数是 解题关键． 2.答案：B 解析： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 ܽ 1 的形式，其中 1 ܽ < 1 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 科学记数法的表示形式为 ܽ 1 的形式，其中 1 ܽ < 1 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：将 2.2⸸ 亿这用科学记数法表示为： .22⸸ 1 ． 故选：B． 3.答案：B 解析： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视 图，可得答案． 解析： 解：从正面看下层是三个小正方形，上层右边一个小正方形， 故选 B． 4.答案：B 解析： 本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项． 利用同底数幂乘法，除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算即可． 解： 香.ܽ ܽ െ 4ܽ ，故 A 错误； B. ܽ ܽ 2 െ ܽ ⸸ ，故 B 正确； C. ܽ ⸸ ܽ െ ܽ 4 ，故 C 错误； D. ܽ 2 െ ܽ ，故 D 错误． 故选 B． 5.答案：C 解析： 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设买鸡的人数为 x 人，根据鸡的价钱不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解． 解：设买鸡的人数为 x 人， 根据题意得： x 11 െ x 1 ． 故选 C． 6.答案：B 解析：解： 第一艘快艇沿北偏西 方向，第二艘快艇沿南偏西 2 方向， 䁨香 െ ， 䁨 െ 香 െ ⸸ ， 香䁨 െ ⸸ 2 ， 䁨 െ 香䁨 െ 4⸸ ， 第二艘快艇沿南偏西 2 方向， 1 െ 香 െ 2 ， 2 െ 4⸸ 2 െ 2⸸ ， 第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西 2⸸ ， ⸸ 2 千米． 故选：B． 根据题意得出 香 െ 䁨 以及 䁨香 െ ，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离． 此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键． 7.答案：B 解析： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数 k 的几何意义，平行线分线段成比例 定理，求得 BD，OA 的长是解题关键．过点 B、点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，E，则 䁨 ，得 出 䁨 െ 香 香 െ 香 香䁨 ，设 െ ，则 䁨 െ 2 ，根据反比例函数的解析式表示出 െ 1 ， െ 2 ， 香 െ ， 然后根据三角形面积公式求解即可． 解：如图，过点 B、点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 D，E，则 䁨 ， 䁨 െ 香 香 െ 香 香䁨 ， 是 香䁨 的中线， 䁨 െ 香 香 െ 香 香䁨 െ 1 2 ， 设 െ ，则 䁨 െ 2 ， 的横坐标为 2 ，B 的横坐标为 1 ， െ 1 ， െ 2 ， െ െ 1 ， 香 െ െ 1 ， 香 െ 香 െ ， 香䁨 െ 1 2 香 䁨 െ 1 2 2 െ ． 故选：B． 8.答案：B 解析： 本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角； 作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 ． 根据基本作图对 A、B、D 进行判断；根据圆周角定理对 C 进行判断． 解：A 选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C 选项通过作 90 度的圆周角得到斜边上的高， D 选项通过画图得到菱形，即可得到斜边上的高， B 选项无法保证斜边所对的顶点在所画线段的垂直平分线上， 故选：B． 9.答案： 4 2 解析：解：原式 െ 2 2 െ 4 2 ． 故答案为： 4 2 ． 首先化简二次根式，进而计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 10.答案： 1.⸸ܽ 解析：解：由题意得标价为 1 ⸸提ܽ െ 1.⸸ܽ 元， 则实际售价为 1.⸸ܽ . െ 1.⸸ܽ 元． 故答案为： 1.⸸ܽ ． 一件商品的原价为 a 元，提高 ⸸提 后标价，则标价为 1 ⸸提ܽ െ 1.⸸ܽ 元，再用标价 . 即可求 出实际售价． 此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系． 11.答案：120 解析： 此题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键． 直接延长 FE 交 DC 于点 N，利用平行线的性质得出 䁨 െ ܰ െ ⸸ ，再利用三角形内角和定 ．的正方形的边长的差，列出代数式进行化简即可 ܽ 1 是 的正方形与边长 ܽ 2 的正方形的边长的和，矩形的宽就是边长是 ܽ 1 的正方形与边长是 ܽ 2 是 此题考查图形的剪拼，整式的运算，正确使用完全平方公式是解决问题的关键．矩形的长就是边长 解析： 4ܽ 13.答案： ． 故答案为 ． 1 2 ， 1 2 ， 1 < 上的两点， െ ݔ < 是直线 䁨2 ， 香 11 点 函数值 y 随 x 的增大而减小， ， < 的 െ ݔ 直线 解： 可知，一次函数的函数值 y 随 x 的增大而减小． < 根据 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了一次函数的增减性． 解析： 12.答案： 故答案为 120． ． െ 1 െ 12 ， ܰ െ 1 ⸸ 2⸸ െ ， െ 2⸸ ， 䁨 െ ܰ െ ⸸ ， 香䁨 直线 解：延长 FE 交 DC 于点 N， 理及平角的定义得出答案． 解：由题意得矩形的长为 ܽ 2 ܽ 1 െ 2ܽ 1ʹ ，矩形的宽为 ܽ 2 ܽ 1 െ ʹ ， 所以矩形的周长 െ 2 【 2ܽ 1 】 െ 4ܽ ʹ ， 故答案为 4ܽ ． 14.答案：6 解析： 本题考查点二次函数的实际应用，解题的关键是要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角 坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．由 二次函数图象的对称性可知 D 点的横坐标为 ，把 െ 代入二次函数关系式 െ 1 2 ，可以求 出对应的纵坐标，进而求出点 B 的纵坐标，再把 B 的纵坐标代入 െ 1 2 ，即可求出 B 的横坐标， 即 AB 长度的一半． 解： 水面宽 CD 为 2 ，y 轴是对称轴， 点的横坐标为 ， 的纵坐标为 െ 1 2 െ 2 ， 水位上涨 1m 时，水面宽 CD 为 2 ， 䁨 的纵坐标为 2 1 െ ， 把 െ 代入解析式 െ 1 2 得： 䁨 的横坐标为 െ 1 2 െ ， 桥下的水面宽 AB 为 2 െ 米， 故答案为 6． 15.答案：解：原式 െ 4ܽ 2 4ܽ 1 4ܽ 2 4ܽ െ ܽ 1 ， 当 ܽ െ 1 时，原式 െ ܽ 1 െ 2 ． 解析：直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16.答案：解： 1 或 甲袋 和 乙袋 2 3 4 2 4 5 6 4 6 7 8 摸出的两个球上数字之和为 5 的概率为 1 ． 2 从表看，摸出的两个球上数字之和为 6 时概率最大． 解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和达到某种效果的可能，然后根据概率公 式求出该事件的概率． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率 െ 所求情况数与总情况数之比． 17.答案：解：设 A 品牌服装每套进价为 x 元，则 B 品牌服装每套进价为 2⸸ 元， 由题意得： 2 െ 2 ⸸ 2⸸解得： െ 1 ， 经检验： െ 1 是原分式方程的解， 2⸸ െ 1 2⸸ െ ⸸ ， 答：A、B 两种品牌服装每套进价分别为 100 元、75 元； 解析：本题考查了分式方程组的应用，弄清题意，表示出 A、B 两种品牌服装每套进价，根据购进 的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键． 首先设 A 品牌服装每套进价为 x 元，则 B 品牌服装每套进价为 2⸸ 元，根据关键语句“用 2000 元购进 A 种服装数量是用 750 元购进 B 种服装数量的 2 倍．”列出方程，解方程即可． 18.答案：解： 1 由圆周角定理得， 香 െ 2 െ 香 切 于点 P， 香 െ ， 香 െ 2 ； 2䁨 െ 1 香 െ 11 ， 䁨 െ 11 2 1 െ 11 . 解析： 1 根据圆周角定理求出 香 ，根据切线的性质计算，得到答案； 2 根据弧长公式计算即可． 本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 19.答案：解： 1 补全八年级 20 名学生安全教育频数分布直方图如图所示， 21.⸸ ，94， ⸸⸸提 ； 22 ； 4 八年级 八年级的中位数和优秀率都高于七年级 ． 解析：解： 1 见答案 2 八年级 20 名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为： 51 55 62 71 78 85 86 87 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99 中位数 െ 12 2 െ 1.⸸ 分； 4 分出现的次数最多，故众数为 94 分； 优秀率为： 11 2 1提 െ ⸸⸸提 ， 故答案为： 1.⸸ ，94， ⸸⸸提 ； 4 ⸸⸸提 െ 22 人 ， 答：八年级成绩优秀的学生人数约为 220 人； 故答案为：220； 4 整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级． 故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级． 1 由收集的数据即可得；根据题意补全频数分布直方图即可； 2 根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得； 根据题意列式计算即可； 4 八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可得结论． 本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键． 20.答案：解： 1 如图所示， 即为所求； 2 由图可得， െ 4 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 4 1 െ .⸸ 解析： 1 依据轴对称的性质，即可得到 香䁨 关于直线 a 的对称图形； 2 利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积． 此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题是关键． 21.答案：解： 112 ；3； 2 设圆柱形容器的底面积为 S， 则 12 െ 42 2 ⸸ ， 解得， െ 2 ， 设“柱锥体”的底面积为 柱锥， 柱锥 ⸸ െ 2 ⸸ 1⸸ ⸸ ， 解得， 柱锥 െ ⸸ ， 即圆柱形容器的底面积是 2ʹ 2 ，“柱锥体”的底面积是 ⸸ʹ 2 ． 解析： 本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形 结合的思想解答． 1 根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高； 2 根据题意和函数图象可以求得圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积． 解： 1 由题意和函数图象可得， 圆柱容器的高为 12cm，“柱锥体”中圆锥体的高为： ⸸ െ ʹ ， 故答案为 12；3； 2 见答案． 22.答案：解： 1 证明： ， െ ． 由翻折的性质可知： െ ， െ ， െ ， െ ． െ ． െ െ െ ． 四边形 EFDG 为菱形． 2 证明：如图 1 所示：连接 DE，交 AF 于点 O． 四边形 EFDG 为菱形， ， െ െ 1 2 ． െ 香 െ ， െ 香 ， ∽ 香 ． 香 െ ，即 2 െ 香 ． െ 1 2 ， െ ， 2 െ 1 2 香 ． 如图 2 所示：过点 G 作 ，垂足为 H． 2 െ 1 2 香 ， 香 െ ， െ 2 ⸸ ， 2 െ 1 2 ，整理得： 2 4 െ ． 解得： െ 4 ， െ 1 舍去 ． െ െ 2 ⸸ ， 香 െ 1 ， 香 െ 香 2 2 െ 4 ⸸ ． ， 香 ， 香 ． ∽ 香 ． 香 െ 香 ，即 4 ⸸ െ 4 1 ． െ ⸸ ⸸ ． 䁨 െ 香 െ 4 ⸸ ⸸ ⸸ െ 12 ⸸ ⸸ ． 解析：本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判 定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到 2 െ 香是解题答问题 2 的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题 的关键． 1 先依据翻折的性质和平行线的性质证明 െ ，从而得到 െ ，接下来依据翻折的 性质可证明 െ െ െ ； 2 连接 DE，交 AF 于点 . 由菱形的性质可知 ， െ െ 1 2 ，接下来，证明 ∽ 香 ， 由相似三角形的性质可证明 2 െ 香 ，于是可得到结果； 过点 G 作 ，垂足为 . 利用 2 的结论可求得 െ 4 ，然后再 香 中依据勾股定理可 求得 AD 的长，然后再证明 ∽ 香 ，利用相似三角形的性质可求得 GH 的长，最后依据 䁨 െ 香 求解即可． 23.答案： 1 证明： െ ， 香 ， 香 െ 香 ， 香 െ 香 ， 香 香 െ 香 香 െ ， 香 െ 香 ， 香 平分 䁨香 ， 香 െ 香 ， 香 香 െ ， 香 香 香 െ ， 2香 2香 െ ，即 香 െ 4⸸ ， 香 为等腰直角三角形； 2 证明：作 ，交 DP 于 H 点， െ ， 香 ， 香 െ ， 香 െ ， 香 െ ， െ ， 香 െ ， 在 香 和 中， ， 12 െ 2 时， െ 当 存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形．理由如下： 2 ； 4 4 点 P 的坐标为 ， 12 2 െ 二次函数的解析式为 ， ʹ െ 12 ݔ െ ܽ െ 1 解得 ， 4ܽ 2ݔ ʹ െ ʹ െ 12 2ܽ െ 4 ݔ 由题意得 ݔ ʹ 2 െ ܽ 设二次函数的解析式为 1 解： 24.答案：方法一： ，计算即可． 香 െ 2 GH， െ 2 ，证明 െ 香 െ ， െ ，得到 香≌ 香香 ，交 DP 于 H 点，证明 作 2 ，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可； 香 െ 香 根据线段垂直平分线的定义得到 1 的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 解析：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形 ． 香 െ 2 即 ， 香 െ 2 ， 香 െ 2 2 ， 香 െ 2 ， 香 െ 2 ， െ 2 ， െ ， െ 即 ， െ ． െ 香 െ ， െ ， 香≌ 香香 香 െ 香 െ 香 െ 1 െ 2 ， 2 െ ， 点 B 的坐标为 ， 设直线 BP 的解析式为 െ 则 െ 4 െ 4 ， 解得 െ 2 െ 12 直线 BP 的解析式为 െ 2 12 直线 䁨 ， 顶点坐标 4 4 ， െ 4 2设 2 则 䁨 2 െ 2 2 2 当 䁨 െ 时， 2 2 2 െ 2 ， 解得： 1 െ 2 ⸸ ， 2 െ 2 ， 当 2 െ 2 时， െ 䁨 െ 2 ⸸ ，四边形 OPBD 为平行四边形，舍去， 当 െ 2 ⸸ 时四边形 OPBD 为等腰梯形， 当 2 ⸸ 4 ⸸ 时，四边形 OPBD 为等腰梯形； 当 < 2 时， 运动速度为每秒 2 个单位长度，运动时间为 t 秒，则 െ 2 ， െ ， െ ， ܰ െ 1 2 4 ， ܰ െ ܰ െ 2 1 2 ， െ 4 2 ； 当 2 < < 4 时， 1 െ 2 4 ， 1 െ ， ܰ䁨 1∽ 1ܰ ， 1 1ܰ െ 1 1 2 ， 1 4 2 െ 24 2 ， 1 െ 2 12 12 ， െ 4 2 2 12 12 െ 4 2 12 12 ， 当 < 2 时， െ 4 2 ， 当 2 < < 4 时， െ 4 2 12 12 ． 方法二： 1 略． 2 设 2 ， ， 4 4 ， 䁨 ， 䁨 െ 4 4 െ 2 ， െ 2 െ 2 ， 䁨 െ ， 䁨 ， 四边形 OPBD 为等腰梯形， 䁨 െ ， 2 2 2 െ 4 2 4 2 ， 1 െ 2 舍 ， 2 െ 2 ⸸ ， 2 ⸸ 4 ⸸ . ， 4 4 ， ： െ ， 4 4 ， 䁨 ， 䁨 ： െ 2 12 ， ܰ 2 4 ， 当 < 2 时， െ 1 2 ܰܰ െ 1 2 2 4 4 4 െ 4 2 ， 当 2 < < 4 时， ܰ 与 香ܰ 关于 MN 对称， 香 െ ， ܰ香 ܰ െ ， 香 ： െ 2 ， ܰ香 ： െ 2 2 4 ， 2 ， 2 ， െ 1 2 ܰ െ 1 2 2 2 2 4 4 െ 4 2 12 12 ． 解析： 1 利用对称轴公式，A、C 两点坐标，列方程组求 a、b、c 的值即可； 2 存在．由 1 可求直线 PB 解析式为 െ 2 12 ，可知 䁨 ，利用 䁨 െ ，列方程求解， 注意排除平行四边形的情形； 由 4 4 可知直线 OP 解析式为 െ ，当 1 落在 x 轴上时，M、N 的纵坐标为 2 ，此时 െ 2 ， 按照 < 2 ， 2 < < 4 两种情形，分别表示重合部分面积． 本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特 点，是解题的关键．