成都外国语学校高二下期入学考试数学试题（理） 13页

成都外国语学校高二下期入学考试数学试题（理） 1．设集合    2 4 0 , 2 0A x x B x x      ，则 A B  （ ） A． 2x x  B． 2x x   C． 2x x   或 2x  D． 1 2x x    【答案】B 2．已知命题 p:  0,ln 1 0x x    ；命题 q：若 a＞b，则 a2>b2，下列命题为真命题的 是 A. p q B. p q C. p q  D. p q  【 解 析 】 由 0x  时  1 1,ln 1x x   有 意 义 ， 知 p 是 真 命 题 ， 由    2 22 22 1,2 1 ; 1 2, 1 2        可知 q 是假命题，即 ,p q 均是真命题，故选 B. 3．若 π 1cos( )4 3    ， (0, )2   ，则sin 的值为（ ） A． 4 2 6  B． 4 2 6  C． 7 18 D． 2 3 【答案】A 4．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为 0，则判断框中的条件不可 能是（ ） A． 2014n≤ B． 2015n≤ C． 2016n≤ D． 2018n≤ 【答案】A 【解析】前 6 步的执行结果如下： 0, 1s n  ； 3, 2s n  ； 0, 3s n  ； 0, 4s n  ； 3, 5s n  ； 0, 6s n  ；观察可知， s 的值以 3 为周期循环出现，所以判断条件为 2014n≤ ？时， 3s  符合题意． 5．函数   20164cos 2016 e xy x  （ e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ） 【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除 B、D，又  0 4 1 3 0f     ，故选 A． 6.若直线 ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4，则 的最 小值为（ ） A． B． C． + D． +2 试题分析：圆即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以 M（﹣1，2）为圆心，以 2 为半径的圆，由 题意可得 圆心在直线 ax﹣by+2=0 上，得到 a+2b=2，故 = + + +1，利用基本不等 式求得式子的最小值． 解：圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以 M（﹣1，2）为圆心，以 2 为 半径的圆， 由题意可得 圆心在直线 ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，故﹣1a﹣2b+2=0， 即 a+2b=2，∴ = + = + + +1≥ +2 = ， 当且仅当 时，等号成立，故选 C． 7．在平面直角坐标系中，若不等式组 2 2 1 2 1 0 x y x ax y      ≥ ≤ ≤ ≥ （ a 为常数）表示的区域面积等于 1， 则抛物线 2y ax 的准线方程为（ ） A． 1 24y   B． 1 24x   C． 3 2x   【答案】D 【解析】作可行域： 由题知：  2,2 1A a  ，  1, 1B a  ， 11, 2C      ，  2,0D ， 12 1 1 2 1 12 a a s        ， 1 6a  ，抛物线 2 6 xy  ，即： 2 6x y ，准线方程为： 3 2y   ． 8．高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直 观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与 底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ） A．2 B． 2 C． 1 2 D． 2 2 【答案】B 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则  0 0 0A ，， ，  0 0 2E ，， ，  0 2 4D ，， ，  2 0 0C ，， ，  0 2 2DE    ， ， ，  2 0 2CE   ，， ．设 平面 DEC 的法向量为  , ,n x y z ，则 0 0 n DE n CE          ，即： 2 2 0 2 2 0 y z x z       ，  1, 1,1n   ，又  0 0 2AE  ，， 为平面 ABC 的法向量，设所求二面角为 ，则 2 3cos 32 3 n AE n AE           ，从而 tan 2  ． 9．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 2DE AE ， 2CF BF ．若有  7,16  ，则在正方形的四条边上，使得 PE PF    成 立的点 P 有（ ）个 A．2 B．4 C．6 D．0 【答案】B 【解析】若 P 在 AB 上，     5,4PE PF PA AE PB BF PA PB AE BF                   ； 若 P 在CD 上，     7,16PE PF PD DE PC CF PD PC DE CF                  ； 若 P 在 AE 上，    0,4PE PF PE PA AB BF PE PA PE BF                   ； 同理， P 在 BF 上时也有  0,4PE PF   ； 若 P 在 DE 上，    0,16PE PF PE PD DC CF PE PD PE CF                   ； 同理， P 在CF 上时也有  0,16PE PF   ； 所以，综上可知当  7,16  时，有且只有 4 个不同的点 P 使得 PE PF    成立． 10．已知双曲线 2 2 1x y  的左、右顶点分别为 1 A 、 2 A ，动直线 :l y kx m  与圆 2 2 1x y  相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y ，则 2 1x x 的最小值为（ ） A． 2 2 B．2 C ． 4 D．3 2 【答案】A l 与圆相切， 2 1 1 m k    ， 2 21m k   ． 由 2 2 1 y kx m x y      ，得   2 2 21 2 1 0k x mkx m     ，      2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 4 4 1 1 4 1 8 0 1 01 k m k k m m k mx x k                     ， 2 1k  ， 1 1k   ，故 k 的取值范围为 1,1 ． 由于 1 2 2 2 1 mkx x k    ，  2 2 1 1 2 1 2 22 2 2 2 24 11 x x x x x x kk         ， 20 1k  ≤ ，当 2 0k  时， 2 1x x 取最小值 2 2 ． 11 已知两定点 ( 2,0)A  和 (2,0)B ，动点 ( , )P x y 在直线 : 3l y x  上移动，椭圆 C 以 ,A B 为焦点且经过点 P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ） A. 2 26 B. 4 26 C. 2 13 D. 4 13 12．已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的实数 ，等式 成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结论成立 的是（ ） A. B. C. D. 【解析】 当 时 与 时， 矛盾，因此 当 时， ， 设 ，则 ,因此 为单调减函数，从而 , , , , , 选 D. 13．设 nS 是数列 na 的前 n 项和， 0na  ，且  1 36n n nS a a  ，则数列 na 的通项公式 为________． 【答案】 3na n 【解析】当 1n  时，  1 1 1 1 1 36S a a a   ，解得 1 3a  ； 当 2n≥ 时，    1 1 1 1 3 36n n n n n n na S S a a a a          ， 整理得  1 1 3 0n n n na a a a     ． 因为 0na  ，所以 1 3 0n na a    ，即 1 3n na a   ， 所以 na 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以  3 3 1 3na n n    ，即 3na n ． 14．从某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x （厘米）和体重 y （公斤）数据如下表； x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 根据上表可得回归直线方程为 ˆ 0.92 96.8y x  ，则表格中空白处的值为________． 【答案】60 【解析】根据回归直线经过样本中心 ,x y 可得，表格中空白处的值为 60． 15．已知点 A 是抛物线 21 4y x 的对称轴与准线的交点，点 F 为该抛物线的焦点，点 P 在 抛物线上且满足 PF m PA ，则 m 的最小值为________． 【答案】 2 2 【解析】如图所示，  0, 1A  ，  0,1F ，过 P 作准线的垂线，垂足是 H ，由对称性，不妨 令 P 在第一象限， sinPF PHm PAHPA PA      ， 问题等价于求 PAH 的最小值， 而 21 11 1 1 1 14tan 2 14 4 xyPAH x xx x x x       ≥ ， 当且仅当 1 1 24 x xx    时等号成立， 所以 2sin 2m PAH  ≥ ，即： min 2 2m  ． 16 过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为＿＿＿ 解 因为 ，离心率 ，点准距 ，因倾斜角为 ，所以 。注意到 分别在双曲线的两支上，由焦半径公式 得， 。 17．已知函数   23 1sin2 cos2 2f x x x   . (1)求  f x 的单调递增区间； (2)设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且  3, 0c f C  ，若sin 2sinB A ， 求 a b、 的值． 试题解析： (1)   23 1 3 1 2 12 2 2 12 2 2 2 2 6 cos xf x sin x cos x sin x sin x              . 由 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z          ，得  ,6 3k x k k Z        ∴函数  f x 的单调递增区间为  ,6 3k k k Z         . (2)由   0f C  ，得 2 16sin C      ， 110 , 26 6 6C C        ， 2 ,6 2 3C C     . 又 2sinB sinA ,由正弦定理得 2b a  ①; 由余弦定理得 2 2 2 2 3c a b abcos    ，即 2 2 3a b ab   ，②由①②解得 1, 2a b  . 18．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听 写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根 据甲、乙两人近期 8 次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中 有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用 a 表示．（把频率当作概 率）． （1）假设 5a  ，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统 计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？ （2）假设数字 a 的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分 的概率． 试题解析： （1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为  1 68 69 71 72 74 78 85 83 758x         甲 ，  1 65 70 70 73 75 80 82 85 758x         乙 ， ∴                2 2 2 2 2 2 2 22 1 68 75 69 75 71 75 72 75 74 75 78 75 85 75 83 75 35.58s                   甲                2 2 2 2 2 2 2 22 1 65 75 70 75 70 75 73 75 75 75 80 75 82 75 85 75 418s                   乙 ∵ x x甲 乙 ， 2 2s s甲 乙 ， ∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适． （2）由 x x甲 乙 ，得  1 60 2 70 4 80 2 8 9 1 2 4 8 3 758 a              ，∴ 5a  ， 又 a 为整数，∴ 0,1,2,3,4a  ， 又 a 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为 1 2 ． 19．正项数列 na 满足    2 1 1 2 1 3 1 0n n n n na a a a a      ， 1 1a  ，数列 nb 为等差 数列， 3 21b a  ， 3 13a b . （1）求证： 1 2na    是等比数列，并求 nb 的通项公式； （2）令 n n nc a b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT 试题解析： （1）由题可得   1 1 3 1 0n n n na a a a     ， ∵ 0na  ，∴ 1 3 1n na a   ，∴ 1 1 132 2n na a       ， 又 1 1 3 02 2a    ，∴ 数列 1 2na    是首项为 3 2 ，公比为 3 的等比数列． ∴ 11 3 332 2 2 n n na     ，∴ 3 1 2 n na  ．∴ 2 34, 13a a  ， 由题意得 1 1 2 1 4{  12 13 b d b d      ，解得 1 1,{  1. b d   ∴  1 1nb n n    ． （2）由（1）得 3 1 2 n na  ， nb n ，∴    1 13 1 32 2 n n nc n n n      ， ∴    21 11 3 2 3 3 1 22 2 n nT n n               2 11 1 3 2 3 32 4 n n nn         ， 令 21 3 2 3 3n nS n       ①， 则 2 3 13 1 3 2 3 3n nS n        ②， ① ②得 2 12 3 3 3 3n n nS n        1 13 3 32 n nn     11 3( ) 32 2 nn     ． 所以 11 332 4 4 n n nS        ．∴    11 11 1 332 4 4 8 8 4 n n n n n n nnT S            20．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PPD//平面 MAC，PA=PD= 6 ，AB=4． （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值． 试题解析：解：（I）设 ,AC BD 交点为 E ，连接 ME . 因为 PD  平面 MAC ，平面 MAC  平面 PBD ME ，所以 PD ME . 因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点. （II）取 AD 的中点O ，连接 OP ， OE . 因为 PA PD ，所以OP AD . 又因为平面 PAD  平面 ABCD ，且OP  平面 PAD ，所以 OP 平面 ABCD . 因为OE  平面 ABCD ，所以OP OE . 因为 ABCD 是正方形，所以OE AD . 如图建立空间直角坐标系O xyz ，则  0,0, 2P ，  2,0,0D ，  2,4,0B  ，  4, 4,0BD   ，  2,0, 2PD   . 设平面 BDP 的法向量为  , ,n x y z ，则 0{   0 n BD n PD       ，即 4 4 0 {   2 2 0 x y x z     . 令 1x  ，则 1y  ， 2z  .于是  1,1, 2n  . 平面 PAD 的法向量为  0,1,0p  ，所以 1cos , 2 n pn p n p   . 由题知二面角 B PD A  为锐角，所以它的大小为 3  . （III）由题意知 21,2, 2M      ，  2,4,0D ， 23,2, 2MC        . 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则 2 6sin cos , 9 n MC n MC n MC         . 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 2 6 9 . 21．已知函数   1 2 1log 1 axf x x   为奇函数, a 为常数. （1）确定 a 的值； （2）求证：  f x 是 1  ， 上的增函数； （3）若对于区间 3 4， 上的每一个 x 值，不等式   1 2 x f x m     恒成立，求实数 m 的取 值范围. 试题解析： （1）∵函数  f x 是奇函数，    f x f x    ， 即 1 1 2 2 1 1log log1 1 ax ax x x      ∴ 1 1 1 1 ax x x ax     ，整理 得 2 2 21 1x a x   ， ∴ 2 1a  ，解得 1a   ， 当 1a  时， 1 11 ax x    ，不合题意舍去， ∴ 1a   。 （ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得   1 2 1log 1 xf x x   ， 设  1 2 1 2, 1,x x x x  ，且 ， 则               2 1 1 2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x xx x x x x x x x               ， ∵ 2 1 1x x  ,∴  1 2 2 10,( 1) 1 0,x x x x     ∴      1 2 2 1 2 01 1 x x x x    ,∴ 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x x    , ∴ 2 1 1 1 2 12 2 1 1log log1 1 x x x x    ，即    2 1f x f x .∴  f x 是 1  ， 上的增函数. （3）依题意得 1 2 1 1log 1 2 xxm x            在 3 4， 上恒成立， 设   1 2 1 1log 1 2 xxu x x            ，  x 3 4 ， ， 由（2）知函数   1 2 1 1log 1 2 xxu x x            在 3 4， 上单调递增， ∴当      min 9x 3 3 8u x u x u   时， 有最小值，且 ，所以 9 8m   . 故实数 m 的取值范围为 9, 8      . 22．如图, O 为坐标原点,椭圆 1 :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左右焦点分别为 1 2,F F ,离心 率为 1e ;双曲线 2 :C 2 2 2 2 1x y a b   的左右焦点分别为 3 4,F F ,离心率为 2e ,已知 1 2 3 2e e  , 且 2 4 3 1F F   . (1)求 1 2,C C 的方程; (2)过 1F 点作 1C 的不垂直于 y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点,当直线OM 与 2C 交于 ,P Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值. (1) 由 题 可 得 2 2 1 22 21 , 1b be ea a     , 且 2 2 1 2 2F F a b  , 因 为 1 2 3 2e e  , 且 2 2 2 2 2 4F F a b a b    , 所 以 2 2 2 2 31 1 2 b b a a     且 2 2 2 2 3 1a b a b     2a b  且 1, 2b a  , 所 以 椭 圆 1C 方 程 为 2 2 12 x y  ,双曲线 2C 的方程为 2 2 12 x y  . (2)由(1)可得  2 1,0F  ,因为直线 AB 不垂直于 y 轴,所以设直线 AB 的方程为 1x ny  , 联立直线与椭圆方程可得  2 22 2 1 0n y ny    ,则 2 2 2A B ny y n    , 2 1 2A By y n   , 则 2 2m ny n   ,因为  ,M MM x y 在直线 AB 上,所以 2 2 2 212 2M nx n n     ,则直线 PQ 的方程为 2 M M y ny x y xx     ,联立直线 PQ 与双曲线可得 2 2 2 2 02 nx x       2 2 4 2x n    , 2 2 22 ny n   则 22 0 2 2n n      , 则 2 2 2 2 42 2 2 nPQ x y n     ,设点 A 到直线 PQ 的距离为 d ,则 B 到直线 PQ 的距离也 为 d , 则 2 2 2 2 4 A A B Bnx y nx y d n      , 因 为 ,A B 在 直 线 PQ 的 两 端 , 所 以   2 2 0B B A Anx y nx y   , 则 2 2 2 2 4 A A B Bnx y nx y d n         2 2 2 4 A A B Bnx y nx y n     , 又 因 为 ,A B 在 直 线 1x ny  上 , 所 以  2 2 2 2 4 A Bn y y d n        22 2 2 2 2 4 2 2 1 4 4 A B A Bn y y y y n n n         , 则 四 边 形 APBQ 面 积 2 22 2 2 1 32 2 1 22 n nn        , 因 为 20 2 2n   ,所以当 2 0n  时,四边形 APBQ 面积的最小值为 2 .