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第一章 三角形的证明
专题二 本章易错点归总
对于有关等腰三角形的无图题目时,需要学生画出满足
题目的所有图形来解题,学生往往只会画一种最常见的
图形来解题从而导致漏解.
【例1】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为
45°,求这个等腰三角形顶角的度数.
易错点1 对于无图问题,考虑欠周全,造成漏解
易错提示:就此题而言,等腰三角形一腰上的高既可以
在等腰三角形内,也可以在等腰三角形外,需分类讨论.
正解:在△ABC中,①当高在等腰三角形内部时,如图
Z1-1①,由题设知,∠ACD=45°,故∠A= 45°;②当高
在等腰三角形外部时,如图Z1-1②,由题设知,
∠ACD=45°,故∠DAC= 45°,所以∠BAC=180°-
45°=135°. 故此等腰三角形的顶角为45°或135° .
学以致用
1. 等腰三角形上的高与另一腰的夹角为60°,腰长为8,
求该三角形的面积.
解:①如答图Z1-1,当等腰三角形为锐角三角形时,
∵∠ABD=60°,BD⊥AC,
∴∠A=90°-60°=30°.
∵AB=8,∴BD=4.
∴三角形的面积为 ×8×4=16.
②如答图Z1-2,当等腰三角形为钝角三角形时,
∵∠ABD=60°,BD⊥AC,
∴∠BAD=90°-60°=30°.
∵AB=8,∴BD=4.
∴三角形的面积为 ×8×4=16.
在运用“三线合一”定理时,常因未搞清“三线”具体
指的是哪三条线段,而乱用“三线合一”定理,导致解
题过程错误.
【例2】如图Z1-2,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
BE平分∠ABC交AD于点F. 求证:
△AEF是等腰三角形.
易错点2 误用“三线合一”定理
易错提示:“三线合一”是指等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线与底边上的高线互相重合,并不是针对所
有三角形都具有的性质.
证明:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠ABC+∠C=90°,∠ABC+∠BAD=90°.
∴∠BAD=∠C.
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
而∠AEB=∠C+∠CBE,∠AFE=∠ABF+∠BAF,
∴∠AFE=∠AEF.
∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形.
学以致用
2. 如图Z1-3,在△ABC中,AB=AC, BD⊥AC,垂足为点
D,∠A=40°,求∠DBC的度数.
解:∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC= ×(180°-40°)=70°.
∴∠DBC=90°-70°=20°.
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