广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期周测试题4理（高补班）含解析 9页

- 1 - 广东省廉江市实验学校 2020 届高三数学上学期周测试题（4）理（高 补班） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合,集合,则( ) A. B. C. D. 2. 若,,则( ) A. B. C. D. 3. 已知函数,若,则 a 的值是( ) A. 3 或 B. 或 5 C. D. 3 或或 5 4. 已知,,则的值为( ) A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是( ) A. ,“”是“”的必要不充分条件 B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C. 命题“使得”的否定是：“,” D. 命题 p：“,”,则是真命题 6. 已知,向量在向量上的投影为,则与的夹角为 A. ​ B. ​ C. D. 7. 等差数列和,的前 n项和分别为与,对一切正整数 n,都有,则等于( ) A. B. C. D. 8. 中,a,b,c 分别为,,的对边,如果 a,b,c 成等差数列, ,的面积为,那么 b等 于 A. B. C. D. 9. 如图,正方形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、CD 的中点,若,则( ) A. 2 B. C. D. 10. 的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( ) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 - 2 - C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 11. 定义在 R 上的偶函数满足：对任意的,,有,且,则不等式解集是( ) A. B. C. D. 12. 已知函数,关于 x 的方程有 3个相异的实数根,则 a 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若满足约束条件则的最小值为________． 14. 已知函数是 R 上的周期为 4 的偶函数,当时,,则______． 15. 若数列的首项,且,令,则_________． 16. 已知,记 ,, ,,则______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. （10 分）设集合,集合 当时,求及； 若是的充分条件,求实数 a 的取值范围． 18. （12 分）已知向量,,函数． 若,求的值； 在中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足,求的取值范围． - 3 - 19. （12 分）在中,a、b、c分别为角 A、B、C所对的边,且．求角 C 的大小； 若,,求边 a 的值及的面积． 20. （12 分）已知为等差数列的前 n项和,,． 求数列的通项公式； 设,为数列的前 n 顶和,求证：． 21. （12 分）若函数,当时,函数有极值． 求函数的解析式； 若方程有 3 个不同的根,求实数 k的取值范围． - 4 - 22. （12 分）已知函数． Ⅰ求函数的单调区间； Ⅱ当时,证明：对任意的,． - 5 - 廉江市实验学校高补数学周测（四） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 23. 已知集合,集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 24. 若,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 25. 已知函数,若,则 a 的值是( ) A. 3 或 B. 或 5 C. D. 3 或或 5 【答案】B 26. 已知,,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 27. 下列说法正确的是( ) A. ,“”是“”的必要不充分条件 B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C. 命题“使得”的否定是：“,” D. 命题 p：“,”,则是真命题 【答案】A 28. 已知,向量在向量上的投影为,则与的夹角为 A. ​ B. ​ C. D. 【答案】B 29. 等差数列和,的前 n项和分别为与,对一切正整数 n,都有,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 30. 中,a,b,c 分别为,,的对边,如果 a,b,c 成等差数列, ,的面积为,那么 b 等 于 A. B. C. D. 【答案】B 31. 如图,正方形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、CD 的中点,若,则( ) A. 2 B. C. D. 【答案】D 32. 的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象( ) A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A - 6 - 33. 定义在 R 上的偶函数满足：对任意的,,有,且,则不等式解集是( ) A. B. C. D. 【答案】B 解：对任意的,,有, 此时函数为减函数, 是偶函数,当时,函数为增函数, 则不等式等价为,即, ,作出函数的草图： 则等价为或, 即或, 故不等式的解集为． 34. 已知函数,关于 x的方程有 3 个相异的实数根,则 a 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 解：当时,,函数的导数, 当时,,当时,,则当时函数取得极小值, 当时,,函数的导数,此时恒成立, 此时函数为增函数,作出函数的图象如图： 设,易知,则时,有 3 个根, 当时,有 2 个根, 当时,有 1 个根, 当时,有 0 个根, 因为,恒成立, 则若有三个相异的实数根, 等价为有 2 个相异的实数根、, 其中,,当时,,即,此时满足条件． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 35. 若满足约束条件则的最小值为________． 【答案】 36. 已知函数是 R上的周期为 4的偶函数,当时,,则______． 【答案】2 37. 若数列的首项,且,令,则_________． 【答案】5050 38. 已知,记 ,, ,,则______． 【答案】​ ​ 解： , , ,, 以此类推,可得出, 即函数是周期为 4 的周期函数, 又, - 7 - , 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 39. 设集合,集合 当时,求及； 若是的充分条件,求实数 a 的取值范围． 【答案】解：, 当时,, , 或； ,, 若是的充分条件,则, 若,即,即时,满足条件． 若,要使,则,即, , 综上：． 40. 已知向量,,函数． 若,求的值； 在中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足,求的取值范围． 【答案】解：由题意得：函数．若,可得, 则． 由可得,即． ,,．,, ,, 41. 在中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且．求角 C 的大小； 若,,求边 a 的值及的面积． 【答案】解：,, 结合余弦定理得：,,或． ,,,,由余弦定理得： ,整理得,解得, ． 42. 已知为等差数列的前 n 项和,,． 求数列的通项公式； 设,为数列的前 n顶和,求证：． 【答案】解：设等差数列的公差是 d, ,, - 8 - ,解得, Ⅱ由得 则数列的前 n项和 得． 化简得．因为,所以． 43. 若函数,当时,函数有极值． 求函数的解析式； 若方程有 3 个不同的根,求实数 k 的取值范围． 【答案】解： 由题意： ,解得, 所求的解析式为, 由可得 令,得或, 当时,,当时,,当时, 因此,当时,有极大值,当时,有极小值, 函数的图象大致如图． 由图可知：． 44. 已知函数． Ⅰ求函数的单调区间； Ⅱ当时,证明：对任意的,． 【答案】解：Ⅰ函数的定义域是, 当时,对任意恒成立, 所以函数在区间单调递增； 当时,由得,由,得, 所以,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减； 综上,当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间；当时,函数的单调递增区间为,单调递减 区间为 Ⅱ当时,, 要证明, 只需证明,设, 则问题转化为证明对任意的,, ,易知 在上单调递增, 因为 0'/>, , 故存在使得 ,则满足, 当 x 变化时,和变化情况如下表 - 9 - x 0 递减 极小值 递增 , 因为,且,所以, 因此不等式得证．