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- 2021-05-26 发布
板块命题点专练(九) 不等式
命题点一 一元二次不等式
1.(2017·山东高考改编)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝________.
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
答案：[－2,1)
2．(2014·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得f(x)＜0对于x∈[m，m＋1]恒成立，
即解得－＜m＜0.
答案：
3．(2012·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得
解得c＝9.
答案：9
命题点二 简单的线性规划问题
1.(2016·江苏高考)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由可得A(2,3)，
所以dmax＝＝，dmin＝＝.所以d2的最小值为，最大值为13.
所以x2＋y2的取值范围是.
答案：
2．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.
平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，
z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
3．(2017·全国卷Ⅲ改编)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，
当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
答案：[－3,2]
4．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．
由
得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
5．(2018·北京高考)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
解析：由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
答案：3
6．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．
又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
命题点三 基本不等式
1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
2．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．
解析：在锐角三角形ABC中，因为sin A＝2sin Bsin C，
所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，
得tan B＋tan C＝2tan Btan C.
所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝.①
因为A，B，C均为锐角，
所以tan Btan C－1＞0，所以tan Btan C＞1.
由①得tan Btan C＝.
又由tan Btan C＞1得＞1，所以tan A＞2.
所以tan Atan Btan C＝
＝
＝(tan A－2)＋＋4
≥2＋4＝8，
当且仅当tan A－2＝，即tan A＝4时取得等号．
故tan Atan Btan C的最小值为8.
答案：8
3．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6.
∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当即时等号成立．
答案：
4．(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l1的斜率为k，
则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，
由消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，
故|AB|＋|DE|的最小值为16.