高考卷 普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数 学（文史类）试题全解全析 10页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数 学（文史类）试题全解全析 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． (1)设全集U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则(CUA)∩B＝ (A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8} 【答案】：B 【分析】：由于 U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6} ∴CUA={3,5,8}∴(CUA)∩B={5， 【高考考点】集合的交集及补集运算 【易错点】：混淆集中运算的含义或运算不仔细出错 【备考提示】：集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。 (2)已知 3cos 2 2       ，且 2   ，则tan ＝ (A) 3 3  (B) 3 3 (C) － 3 (D) 3 【答案】：C 【分析】：由 3cos 2 2       ，得 3sin 2    ，又 2   ，∴ 1cos 2   ∴tan ＝－ 3 【高考考点】三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式及三角函数符号。 【易错点】：本题最容易出错的是符号，另外在用诱导公式时，函数要变名，这也是一个易 措点。 【备考提示】：三角函数问题在高考中一般难度不大，常常是几个小知识点的综合，但需要 我们对所涉及的内容均要熟练掌握。 (3)“x＞1”是“x2＞x”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】：A 【分析】：由 2x x 可得 01  xx 或 , 1x  可得到 2x x ,但 2x x 得不到 1x  .故选 答案 A. 【高考考点】一元二次不等式的解法及充要条件 【易错点】：将“充分而不必要条件”及“必要而不充分条件” 混淆而出错。 【备考提示】：充要条件在数学中有着广泛应用，它可以与数学中的多个知识点结合起来考 查，是一个要重点关注的内容之一。 (4)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 (A)x＋2y－1＝0 (B)2 x＋y－1＝0 （C）2 x＋y－3＝0 (D) x＋2y－3＝0 【答案】：D 【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 1x  对称点为(2-x,y) 在直线 2 1 0x y   上, 0122  yx 化简得 2 3 0x y   故选答案 D. 解法二根据直线 2 1 0x y   关于直线 1x  对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D,再根据两直线交点在直线 1x  选答案 D. 【高考考点】转移法求轨迹问题及轴对称的相关知识 【易错点】：运算不准确导致出错。 【备考提示】：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，这些习题均不能大意， 要争取多得分，最好得满分。 (5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草 坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 【答案】C 【分析】：因为龙头的喷洒面积为 36π 113 ，正方形面积为 256, 故至少三个龙头。由于 2 16R  ，故三个龙头肯定不能保证整个 草坪能喷洒到水。当用四个龙头时，可将正方形 均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于 2 12 8 2R   ，故可以保证整个草坪能喷洒到水。 【高考考点】正方形及圆的面积等相关知识 【易错点】：简单计算一下面积，直接相除得答案D 【备考提示】：遇到一些数学应用问题，不仅要从理论上加以研 究，还要注意问题的实际意义，不能理想化。 (6) 91x x     展开式中的常数项是 (A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84 【答案】：C 【分析】：设常数项为第 1r  项，则    9 9 9 39 2 2 1 1 1 r rr rr r rT C x C xx               令 9 3 02 2 r  ，则 3r  ，故常数项是第四项且 4 84T   ； 【高考考点】二项式定理及相关知识 【易错点】：记错二项式定理的通项，特别是其中的项数。 【备考提示】：准确掌握一些重要的公式和定理是我们解题的关键，也是我们解题的依据。 (7)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则 (A)过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 (B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 DC BA D' C' A'B' D C B A P1 P2 (C)过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 (D)过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 【答案】：B 【分析】：设过点P的直线为 n ，若 n 与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A 错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确。 对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l， ' 'A B 为直线m; 若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。 若P在P2点，则由图中可知直线 ' ' 2CC D P及 均与l、m异面，故选项D 错误。 【高考考点】异面直线及线线平行、垂直的相关知识。 【易错点】：空间想象能力差，找不到相应的反例 【备考提示】：正方体是大家非常熟悉的一个几何体，但很多同学不会灵活应用，从本题可 以看出，有关位置关系及射影等相关问题我们都可以借助正方体来判断。 （8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验， 每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 【答案】D 【分析】：甲获胜有两种情况，一是甲以2：0获胜，此时 2 1 0.6 0.36p   二是甲以2：1获胜，此时 1 2 2 0.6 0.4 0.6 0.288p C     ，故甲获胜的概率 1 2 0.648p p p   【高考考点】独立重复事件恰好发生 n 次的概率 【易错点】：利用公式 2 2 3 0.6 0.4 0.432p C    求得答案 C,忽视了问题的实际意义。 【备考提示】：计算概率问题要仔细分析该事件中所包含的基本事件，分类计算。 （9） 若非零向量 ，a b 满足  a b b ，则（ ） Ａ． 2 2 b a b Ｂ． 2 2 b a b Ｃ． 2   a a b Ｄ． 2   a a b 【答案】：A 【分析】：若两向量共线，则由于 ，a b 是非零向量，且  a b b ，则必有 a=2b；代入可 知只有 A、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三 角形，使其满足 OB=AB=BC；令 OA  a, OB  b,则 BA  a-b, ∴CA  a-2b 且  a b b ；又 BA+BC>AC ∴  a b b 2 a b ∴ 2 2 b a b 【高考考点】向量运算的几何意义及向量的数量积等知识。 【易错点】：考虑一般情况而忽视了特殊情况 【备考提示】：利用向量的几何意义解题是向量中的一个亮点，它常 常能起到化繁为简、化抽象为直观的效果。 （10）已知双曲线 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b    ， 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， P 是准线上一点，且 1 2PF PF ， 1 2 4PF PF ab ，则双曲线的离心率是（ ） Ａ． 2 Ｂ． 3 Ｃ． 2 Ｄ．3 【答案】：B 【分析】：设准线与 x 轴交于 A 点. 在 21 FPFRt 中,  21 PFPF PAFF 21 , c ab c abPA 2 2 4  又 AFAFPA 21 2  ))(( c acc acc ba 22 2 224  , 化简得 22 3ac  , 3 e 故选答案 B 【高考考点】双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识。 【易错点】：不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选。 【备考提示】：双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各 种方法，灵活应用。 二．填空题：本大题共7小题．每小题4分．共28分． (11)函数   2 2 1 xy x Rx   的值域是______________． 【答案】：  0,1 【分析】：注意到 2 0x  ，故可以先解出 2x ，再利用函数的有界性求出函数值域。 由 2 2 1 xy x   ，得 2 1 yx y   ，∴ 01 y y  ，解之得 0 1y  ； 【高考考点】函数值域的求法。 【易错点】忽视函数的有界性而仿照  1 xy x Rx   来解答。 【备考提示】：数学中有很多问题看起来很相似，但解法有很大不同，要仔细区别，防止出 错。 (12)若 1sin cos 5    ，则sin 2θ的值是________． 【答案】： 24 25  C AO B 【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。∵ 1sin cos 5    ∴两边平方得： 2 2 1sin 2sin cos cos 25       ，即 11 sin 2 25   ，∴ 24sin 2 25    【高考考点】同角三角函数基本关系式及二倍角公式。 【易错点】：计算出错 【备考提示】：计算能力是高考考查的能力之一，这需要在平时有针对性地加强。 (13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分 层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为 ___________． 【答案】 50 【分析】：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为10：1,故500名高三学生应抽取的人 数为50人。 【高考考点】分层抽样的相关知识。 【易错点】：不理解分层抽样的含义或与其它混淆。 【备考提示】：抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分 点，不容错过。 (14) 2z x y  中的 x 、 y 满足约束条件 2 5 0 3 0 0 x y x x y          则 z 的最小值是_________． 【答案】： 5 3  【分析】：将 2z x y  化为 2y x z   ，故 z 的几何意义即为直线 2y x z   在y 轴 上的截距，划出点（ x , y ）满足的可行域，通过平移直线可知，直线 2y x z   过点 5 5,3 3M     时，直线在y 轴上的截距最小，此时 z 也就有最小值 5 3  . 【高考考点】线性规划的相关知识 【易错点】：绘图不够准确或画错相应的可行域。 【备考提示】：数形结合是数学中的重要思想方法，要特别予以重视，但作图必须准确， 到位。 (15)曲线 3 22 4 2y x x x    在点(1，一3)处的切线方程是___________ 【答案】： 5 2 0x y   【分析】：易判断点(1，-3)在曲线 3 22 4 2y x x x    上，故切线的斜率  ' 2 1 1| 3 4 4 | 5x xk y x x       ，∴切线方程为  3 5 1y x    ，即5 2 0x y   【高考考点】导数知识在求切线中的应用 【易错点】：没有判断点与曲线的位置关系，导致运算较繁或找不到方法。 【备考提示】： (16)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本， 10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)． 【答案】：266 【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用 10 元钱买 2 元 1 本共有 565 8 C ②用 10 元钱买 2 元 1 本的杂志 4 本和 1 元 1 本的杂志 2 本共有 2103702 3 4 8  CC 故 210+56=266 【高考考点】排列组合的相关知识及分析问题的能力 【易错点】：考虑问题不全面，漏掉一些情况 【备考提示】：排列组合问题最需要注意的是不重不漏，这就要求我们在解题时要认真分析， 全面考虑。 (17)已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O 的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________． 【答案】： 0 090 ,180   【分析】：若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点 P 向平面  作垂线,设垂足为 H. 过 H 作 AB 的垂线交于 C,连 PC、CH、OH，则 PCH 就是所求 二面角的平面角. 根据题意得 045POH ，由于对于β内异于 O 的任意一点 Q，都有 ∠POQ≥45°，∴ 045POH ，设 PO= x2 ，则 2PH x 又∵∠POB＝45°，∴OC=PC= 2x ，而在 Rt PCH 中应有 PC>PH ,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。 即二面角 AB   的范围是 0 090 ,180   。 若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β 内异于 O 的任意一点 Q，都有∠POQ≥45°。 即二面角 AB   的范围是 0 090 ,180   。 【高考考点】二面角的求法及简单的推理判断能力 【易错点】：画不出相应的图形，从而乱判断。 【备考提示】：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法， 它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决。 三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (18)(本题14分)已知△ABC的周长为 2 ＋1，且sinA＋sin B＝ 2 sin C (I)求边AB的长；(Ⅱ)若△ABC的面积为 1 6 sin C，求角C的度数． 【答案】(I)由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC＝ 2 ＋1． BC+AC＝ 2 AB， 两式相减，得： AB＝1． (Ⅱ)由△ABC的面积＝ 1 2 BC·ACsinC＝ 1 6 sin C，得 BC·AC＝ 1 3 ，∴  22 2 2 42 2 3 3AC BC AC BC AC BC        ，由余弦定 理，得 2 2 2 1cos 2 2 AC BC ABC AC BC    ，所以C＝600． 【高考考点】正弦定理、三角形的面积计算等相关知识 【易错点】：不能利用正弦定理进行边角转化，解题混乱。 【备考提示】：此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用 它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大， 是高考的一个重要的得分点。 (19)(本题14分)已知数列{ na }中的相邻两项 2 1ka  、 2ka 是关于x的方程  2 3 2 3 2 0k kx k x k     的两个根，且 2 1ka  ≤ 2ka (k ＝1，2，3，…)． (I)求 1 3 5 7, , ,a a a a 及 2na (n≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{ na }的前2n项和S2n． 【答案】(I)解：易求得方程  2 3 2 3 2 0k kx k x k     的两个根为 1 23 , 2kx k x  ． 当k＝1时 1 23, 2x x  ，所以 1 2a  ； 当k＝2时， 1 26, 4x x  ，所以 3 4a  ； 当k＝3时， 1 29, 8x x  ，所以 5 8a  ； 当k＝4时， 1 212, 16x x  ，所以 7 12a  ； 因为n≥4时， 2 3n n ，所以 2 2 ( 4)n na n  （Ⅱ）    2 2 1 2 2 3 6 3 2 2 2 n n nS a a a n              = 2 13 3 2 22 nn n    【高考考点】二次方程及等差、等比数列的有关知识； 【易错点】：不能准确理解题意而解题错误 【备考提示】：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．对于此类 问题要认真审题、冷静分析，加上扎实的基本功就可以解决问题。 (20)(本题14分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平 面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．(I)求证： CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值． 【答案】(I)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB． 又EA ⊥平面ABC， ∴ EA ⊥CM，且 AB AE A ∴ CM DBAE 平面 ，所以CM⊥EM． (Ⅱ) 连接MD,设AE=a,则BD=BC=AC=2a,在直角梯形EABD中， AB= 2 2a ，M是AB中点，所以DE=3a, 3EM a ，MD= 6a ,因此 DM EM .因为CM⊥平面EMD，所以CM⊥DM，因此DM⊥平面EMC 故 DEM 是直线DE与平面EMC所成角。 在 Rt EMD 中，MD= 6a ， 3EM a ， ∴ tan 2MDDEM EM    【高考考点】空间线面关系、直线与平面所成角的求法 【易错点】：找不出或找错直线与平面所成角。 【备考提示】：本题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角的求 法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力． 对于线面垂直问题，最常用的方法是 通过线面垂直去证明，而求直线与平面所成角，首先要作出所求的角，再求之。同时，利用 空间向量也是解决此类问题的一个重要的方法，大家可以尝试一下。 （21）（本题 14 分）如图，直线 y kx b  与椭圆 2 2 14 x y  交于 A B， 两点，记 AOB△ 的面积为 S ．（I）求在 0k  ， 0 1b  的条件下， S 的最大值； （II）当 2AB  ， 1S  时，求直线 AB 的方程． 【答案】（Ⅰ）解：设点 A 的坐标为 1( )x b， ，点 B 的坐标为 2( )x b， ，由 2 2 14 x b  ，解得 2 1 2 2 1x b  ， ， 所以 1 2 1 2S b x x  22 1b b  2 21 1b b  ≤ ． 当且仅当 2 2b  时， S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由 2 2 14 y kx b x y     ， ， 得 2 2 21 2 1 04k x kbx b        ， 2 24 1k b    ，① A y xO B （第 21 题） 2 1 1| | 1 | |AB k x x   2 2 2 2 4 11 21 4 k bk k       ． ② 设O 到 AB 的距离为 d ，则 2 1| | Sd AB   ， 又因为 2 | | 1 bd k   ，所以 2 2 1b k  ，代入②式并整理，得 4 2 1 04k k   ，解得 2 1 2k  ， 2 3 2b  ，代入①式检验， 0  ， 故直线 AB 的方程是 2 6 2 2y x  或 2 6 2 2y x  或 2 6 2 2y x   ，或 2 6 2 2y x   ． 【高考考点】椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识 【易错点】：不能准确计算或轻易舍掉一些答案。 【备考提示】：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解 析几何的基本思想方法和综合解题能力．故此类问题一方面要求考生能熟练掌握相关知识， 并且能够有较高的分析问题和解决问题的能力，同时还要有较强的运算能力和不懈的毅力。 (22)(本题15分)已知   2 21f x x x kx    ． (I)若k＝2，求方程   0f x  的解； (II)若关于x的方程   0f x  在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明 1 2 1 1 4x x   【答案】（Ⅰ）解：（1）当k＝2时，   2 21f x x x kx    ① 当 2 1 0x   时，即 x ≥1或 x ≤－1时，方程化为 22 2 1 0x x   解得 1 3 2x   ，因为 1 30 12    ，故舍去，所以 1 3 2x   ． ②当 2 1 0x   时，－1＜ x ＜1时，方程化为 2 1 0x   ，解得 1 2x   由①②得当k＝2时，方程   0f x  的解所以 1 3 2x   或 1 2x   ． (II)解：不妨设0＜x1＜x2＜2， 因为   22 1 x 1 1 x 1 x kx f x kx        所以  f x 在（0,1］是单调函数，故   0f x  在（0,1］上至多一个解， 若1＜x1＜x2＜2，则x1x2＝ 1 2  ＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2． 由  1 0f x  得 1 1k x   ，所以 1k   ； 由  2 0f x  得 2 2 1 2k xx   ， 所以 7 12 k    ； 故当 7 12 k    时，方程   0f x  在(0，2)上有两个解． 当0＜x1≤1＜x2＜2时， 1 1k x   ， 2 2 22 1 0x kx   消去k 得 2 1 2 1 22 0x x x x   即 2 1 2 1 1 2xx x   ，因为x2＜2，所以 1 2 1 1 4x x   ． 【高考考点】函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识 【易错点】：分析问题的能力较差，分类讨论的问题考虑不全面 【备考提示】：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运 用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．需要考生有较扎实的理论知识及 较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力。