华师版数学九年级下册课件-第27章 圆-27圆中的计算问题 33页

HS九(下) 教学课件 27.3 圆中的计算问题 第27章 圆 第1课时 弧长和扇形面积 学习目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. （重点） 图片赏析 问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙 分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不 在同一处？ 问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 问题1 半径为R的圆,周长是多少？ O RC=2 R 问题2 下图中各圆心角所对的弧长 分别是圆周长的几分之几? O R 180 ° O R 90° O R 45 ° O R n° 与弧长相关的计算1 (1) 圆心角是180°，占整个周角的 ，因此它所 对的弧长是圆周长的__________. 180 360 (2) 圆心角是90°，占整个周角的 ，因此它所 对的弧长是圆周长的__________. 90 360 (3) 圆心角是45°，占整个周角的 ，因此它所 对的弧长是圆周长的__________. 45 360 (4) 圆心角是n°，占整个周角的 ，因此它所对 的弧长是圆周长的__________. 360 n 180 360 90 360 45 360 360 n 注意： 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的 意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. 算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为____.4 3  1 2360 180 n n RC R g u弧长公式 ·O A解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90° 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 15.7,180 n R  一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm， 当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时 针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取3.14）？ 例1 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午周长） 的简单方法.如图，点S和点A分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大 两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地 的实际距离为5 000希腊里(1 希腊里≈158.5 m).当太阳光线在塞伊 尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的 角为α.实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行 计算吗？ O α A S 例2 O α A S 解：∵太阳光线可看作平行的，∴圆心角∠AOS=α=7.2°. » 1 360 50,7.2 C AS   o o 设地球的周长为C1，则 1=50 39625km.C AS∴ 答：地球的周长约为39625km. 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”， 再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm， 精确到1mm) 解：由弧长公式，可 得弧AB的长 1 100 900 500 1570 (mm),180C      因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 700m m 700m m R=900mm ( 100 ° A C B DO 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围 成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半 径 半径O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 与扇形面积相关的计算2 下列图形是扇形吗？ √× × × √ 问题1 半径为r的圆,面积是多少？ O r 2S= r 问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几， 具体是多少呢? 合作探究 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 2 1 360 180 8 1 360 45 360 45 360 180 90 360 90 360 1 4 = r 21 2 p r21 4 p r 21 8 O r 180 ° O r 90° O r 45 ° O r n° 360 n 360 n 2 360 n r 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积 注意： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍 数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上 面推导过程记忆）. 2 = 360 n rS  扇形 ___大小不变时，对应 的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面 积与 有关， 越 大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关。 O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？ 1 1 180 2 2 180 2 n r r n rS r lr      扇 形 A B OO 180 n rl  2 = 360 n rS  扇形 类比学习 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求 这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm） O R 60 ° 解：∵n=60，r=10cm， ∴扇形的面积为 =2 + 180 n rl r  260 10= 360   50= 3  252.36(cm ). 扇形的周长为 2 = 180 n rS  60 10=20+ 180   10=20+ 3  30.47(cm). 例3 1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个 扇形的面积S扇= ． 4 3  2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个 扇形的面积S扇= . 24 cm3  4 3  如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C 在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连结OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A=30°． ∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠ACO=90°． 即OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线． 例4 (2)解： ∵∠A=30°， ∴∠COB=2∠A=60°． BOC 60 2 .360 3S   扇形 在Rt△OCD中， CD OCtan60 2 3.  OCD 1= OC CD=2 3.2S g△ OCD OCB 2=S -S =2 3- .3S  △阴影 扇形 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面 积.（精确到0.01cm） (1) O . BA C 讨论：(1)截面上有水部分的面积 是指图上哪一部分？ 阴影部分. 例4 O. BA C D (2) O. BA C D (3) (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条 线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直符号于 AB并长交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- OAB的面积 （3）解：如图，连结OA，OB，过点O作弦AB的垂 线，垂足为D，交AB于点C,连结AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. O. BA C D (3) 　　有水部分的面积： 　　S＝S扇形OAB - SΔOAB 2 2 120π 10.6360 2 10.12π 0.6 3 0.32 0.22(m ) AB OD         O BA C D (3) OO 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 • S弓形=S扇形-S三角形 • S弓形=S扇形+S三角形 u弓形的面积公式 知识要点 7 7 33 8   4 7 33 8    4 33   C A. B． C. D. 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 . 2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、 H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120° 到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过 的面积为 （ ） 2 A B C O H C1 A1 H1O1 3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都 是2cm，则图中阴影部分的面积是 .212 cm A B C D 解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角 为120°的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为90°的 扇形弧长之和， 即 4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ， ∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向 右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所 经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)． 3 3 120 2 90 33 2 4 3 (4 3) .180 180               l (4 3) 5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管 道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面 上有水部分的面积. O A B D C E   2 2 = 240 10.6 0.3 0.6 3360 2 0.24 0.09 3 0.91 cm . OABS S            △弓形 扇形S 解： 6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水 平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置， 求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少. A B A' B'C 解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木 板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°， 这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长. ∵等边三角形ABC的边长为10cm， ∴弧AA' 所在圆的半径为10cm. ∴l弧AA' 120 10 20 (cm).180 3     答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为 20 cm.3  弧 长 计算公式： 1 180 n RC  扇 形 定 义 公 式 2 360 n RS 扇形 1 1 2S C R扇形 阴影部分面积 求法：整体思想 弓 形 公 式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法