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- 2021-05-25 发布
一．方法综述
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质 解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式 构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】【安徽省淮北一中2017—2018第四次月考】若点坐标为，是椭圆的下焦点，点是该椭圆上的动点，则的最大值为，最小值为，则__________．
【答案】
【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．
【举一反三】【湖北省重点高中联考协作体2016-2017期中考试】已知双曲线
的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________．
【答案】2
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围
【例2】【2017届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．学
【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．
【举一反三】【河南省漯河市高级中学2018届上学期第三次模拟】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）
【答案】: | ]
即答案为.学
类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
【例3】【江西省九江市2017年三模】在平面直角坐标系中，已知抛物线，点是 的准线 上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点的横坐标间的关系，便于确定直线在轴上的解截距．
【举一反三】【2016-2017学年江苏泰州中学月考】已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．
【答案】
类型四 利用基本不等式求范围
【例4】【江西省南昌市第二中学2017-2018期中考试】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为．
由抛物线的定义得，又，所以．
同理．学
①当直线与x轴垂直时，则有，
∴．
②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
∴，当且仅当时等号成立．
综上可得．选C．学
【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．
【举一反三】【吉林省普通中学2018届第二次调研】已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设点在轴的上方，则，
∵
∴
当且仅当，即时取等号
∴的最小值是6，故选B. 学
类型五 求解函数值域得范围
【例5】【云南省师范大学附属中学2018届12月适应性月考】已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，， 与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是（ ）
A． 存在直线，使得值为7
B． 存在直线，使得值为
C． 弦长存在最大值，且最大值为4
D． 弦长不存在最小值
【答案】D
，特别地当时，，即，则正确 ；由，故当时， 取到最大值，则C正确；由，但当弦的斜率不存在时， ，故存在最小值
，故D选项不对，故选D．
【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求 使问题得以解决．
【举一反三】【河南省2018届12月联考】已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围
【例6】【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【举一反三】【2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）
可得∠B1PA等于向量与的夹角，
∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）
∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），
∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，
由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，
将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，
不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，
解之得e＜或e＞，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．
三．强化训练
1．【辽宁省凌 市2018届上学期期末】已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为__________．
【答案】
所以的取值范围是．
2．【福建省莆田市第二十四中学2017-2018期第二次月考】已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是__________．
【答案】
故答案为： ．
3．【江西省临川第二中学2018届上学期第四次月考】如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是__________．
【答案】
5．【福建省2016届高三毕业班总复习形成性测试】如图，P是双曲线 (a>0，b>0，xy≠0)上的动点，F1，F2是双曲线的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且．某同学用以下方法研究|OM|：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得|OM|=|NF1|=…=a．类似地：P是椭圆 (a>b>0，xy≠0)上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是________．
【答案】0＜|OM|＜c．
【解析】延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，
得|OM|=|NF1|=（|PF1|-|PF2|），∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|OM|=a-|PF2|，
∵a-c≤|PF2|≤a+c，∵P、F1、F2三点不共线∴0＜a-|PF2|＜c，∴0＜|OM|＜c．
6．【贵州省凯里市第一中学2016-2017效果检测】点是圆上的点，点是抛物线上的点，则点到直线的距离与到点的距离之和的最小值是__________．
【答案】
【解析】如下图， ，所以填．
7．【山东省日照第一中学2017届高三4月考试】过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且，这样的直线可以作2条，则P的取值范围是_____________．
【答案】
，则，根据抛物线性质，得．则抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足的直线可以作条，则通径，即．那么的取值范围是．故本题应填
8．【2017届上海市奉贤区4月调研测试（二模）】双曲线的左右两焦点分别是，若点在双曲线上，且为锐角，则点的横坐标的取值范围是________．
【答案】；
9．【河南省豫南六市2016-2017第一次联考】已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________
【答案】
【解析】 连接， 由为中位线，可得 ，，
圆，可得且，
由椭圆的定义可得，可得，
又，可得，
即有，即为， :Z|xx|k.Com]
化为，即，
，即有，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为．
10．【2016-2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为__________．
【答案】
，，所以，应填答案．
11．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018上学期期末】
抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为__________．
【答案】
∴．故的最大值为．
答案：
12．【2017届河南省师范大学附属中学12月月考】在平面直角坐标系中，已知点A在椭圆上，点P满足 ，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 ．
【答案】15