- 800.50 KB
- 2021-05-25 发布
离散型随机变量的均值与方差
【学习目标】
1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；
2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；
【要点梳理】
要点一、离散型随机变量的期望
1.定义：
一般地，若离散型随机变量的概率分布为
…
…
P
…
…
则称…… 为的均值或数学期望，简称期望．
要点诠释：
（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．
（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
2．性质：
①；
②若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；
的推导过程如下：：
的分布列为
…
…
…
…
P
…
…
于是……
＝……)……)＝
∴。
要点二：离散型随机变量的方差与标准差
1.一组数据的方差的概念：
已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数
＋＋…＋叫做这组数据的方差。
2.离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量的概率分布为
…
…
P
…
…
则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．
的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．
要点诠释：
⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。
3.期望和方差的关系：
4.方差的性质：
若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；
要点三：常见分布的期望与方差
1、二点分布：
若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则
期望
方差
证明：∵,,,
∴
2、二项分布：
若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则
期望
方差
期望公式证明：
∵，
∴，
又∵，
∴＋＋…＋＋…＋
．
3、几何分布：
独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。
若离散型随机变量服从几何分布，且则
期望
方差
要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。
4、超几何分布：
若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则
期望
要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用
1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：
①理解的意义，写出可能取的全部值；
②求取各个值的概率，写出分布列；
…
…
P
…
…
③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、：
.
注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．
2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用
① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。
④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．
【典型例题】
类型一、离散型随机变量的期望
例1． 已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
试求：（1）E（X）；（2）若y=2X－3，求E（Y）．
【思路点拨】 分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m
的值，再利用均值的定义求解；对于（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）．
【解析】
（1）由随机变量分布列的性质，得
，，
∴。
（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得
．
解法二：由于Y=2X－3，所以y的分布如下：
X
－7
－5
－3
－1
1
P
∴。
【总结升华】 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解．
举一反三：
【变式1】已知某射手射击所得环数的分布列如下：
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求.
【答案】
。
【变式2】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
m
n
其中m，n∈[0,1)，且E(ξ)＝，则m，n的值分别为________．
【答案】，
由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝，
由E(ξ)＝，得－m＝，
∴m＝，n＝.
【变式3】随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则E(5ξ＋4)等于( )
A．13 B．11 C．2.2 D．2.3
【答案】A
由已知得
E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，
∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.
【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），，则 ；
【答案】；
由分布列的概率和为1，有，
又，即，
解得，，故。
例2.(2018 重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【思路点拨】不放回的抽取，是古典概型
【解析】(Ⅰ)由古典概型的概率计算公式得所求概率为
P＝，
(Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
所以E(X)＝．
【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表．
举一反三：
【变式1】 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．
【答案】抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以
1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是，乙、丙、丁的成功率都是．
（1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布；
（2）求破译密码成功人数的数学期望．
【答案】
（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4．
，
，
，
，
，
则X的概率分布表为
X
0
1
2
3
4
P
（2）由（1）知，
即破译密码成功的人数的数学期望为1.5．
【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和．求抽奖者获利的数学期望．
【答案】 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中ξ取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利的数学期望，由ξ与的关系为=ξ－5，利用公式
E（）=E（ξ）－5可获解答．
设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：
ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元，1个5元），ξ=10（抽到2个5元）．
所以，由题意得，，，
∴．
又设为抽奖者获利的可能值，则=ξ－5，所以抽奖者获利的期望为
．
例3． 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，
（1）求X的概率分布；
（2）求X和Y的数学期望．
【思路点拨】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
【解析】（1），
，
，
。
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
（2）由（1）知，
或由题意，。
∴，。
【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值．
举一反三：
【变式1】（2018秋 南岗区校级月考）某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为。
（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望。
【答案】（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为
（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有，
故概率为
（3）由于X服从二项分布，即，
∴
【变式2】
一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，
则~ B（20,0.9）,,
由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
类型二、离散型随机变量的方差
例4．已知离散型随机变量的概率分布为
1
2
3
4
5
6
7
P
离散型随机变量的概率分布为
3．7
3．8
3．9
4
4．1
4．2
4．3
P
求这两个随机变量期望、均方差与标准差
【解析】；
；
；
=0.04, .
【总结升华】本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．＝2，=
0. 2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差
举一反三：
【变式1】已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
（1）求E（ξ），D（ξ），η；
（2）设η=2ξ+3，求E（η），D（η）．
【答案】（1）；
，。
（2），。
【变式2】 设随机变量X的概率分布为
X
1
2
…
n
P
…
求D(X）。
【答案】 本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2来解．
解法一：
，
∴
。
解法二：由解法一可求得。
又
，
∴。
例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期望与方差。
【思路点拨】由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响非常小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的，可以看作20次独立重复试验．利用二项分布的公式解答。
【解析】设抽出次品数为，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，
所以,
所以
【总结升华】
1. 解答本题的关键是理解清楚：抽20件商品可以看作20次独立重复试验，即，从而可用公式：，直接进行计算；
2.以下抽查问题可以看作独立重复试验：
（1）涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题；
（2）如果抽样采用有放回地从小数量产品中抽取产品，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件；但从小数量产品中任意抽取产品（即无放回地抽取）每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的，不能看作独立重复试验。
举一反三：
【变式】若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3
件，求取出二等品的件数的期望、方差。
【答案】由题知一次取出二等品的概率为，有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验，
即取出二等品的件数，
所以，
.
【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差 408737 例题1】
【变式2】有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X,求X的分布列,期望和方差.
【答案】
类型四、离散型随机变量的期望和方差的应用
例6． 甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，收获的情况如下：
甲：
亩产量
300
320
330
340
亩数
20
25
40
15
乙：
亩产量
310
320
330
340
亩数
30
20
40
10
试评价哪种水稻的质量较好．
【思路点拨】 本题是期望与方差的综合应用问题．要比较甲、乙两种水稻的质量，需求出其平均亩产量并对其稳定情况进行比较．题中只给出了亩产量与亩数关系，所以应先列出甲、乙两种水稻的亩产量的概率分布，再求其期望与方差．
【解析】 设甲、乙两种水稻的亩产量分别为X和Y．
则，，
，。
且，，
，。
∴，
，
即E（X）=E（Y），这表明两种水稻的平均亩产量相同，进一步求各自的方差，得
，
。
即V（X）＞V（Y），这说明乙种水稻的产量较为稳定，因此乙种水稻质量较好．
【总结升华】 期望（均值）仅体现了随机变量取值的平均水平．但如果两个随机变量的均值相等，还需比较其方差，方差大说明随机变量的取值较分散（波动大），方差小说明取值较集中、稳定．
当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定（即比较方差的大小），相对稳定者就更好．如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可．
举一反三：
【变式1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为
甲保护区：
X1
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
X2
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
【答案】甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差分别为：
E（X1）=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3；
D（X1）=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3+(2－1.3)2×0.2+(3－1.3)2×0.2=1.21．
乙保护区的违规次数置的数学期望和方差分别为：
E（X2）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3；
D（X2）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41．
因为E（X1）=E（X2），D（X1）＞D（X2），所以两个保护区内每季度平均发生的违规事件次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散，波动较大．
【变式2】 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元：
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
试比较哪一种方案好．
【答案】 要比较哪一种方案好，只要把三种方案的损失的数学期望求出，哪一个小，哪一个方案就好．
用X1、X2、X3分别表示三种方案的损失．
采用方案1：无论有无洪水，都损失3800元，即X=3800．
采用方案2：遇到大洪水时，损失2000+60000=62000（元）；没有大洪水时，损失2000元，即
．
同样，采用方案3：有．
于是，E（X1）=3800，
E（X2）=62000×P (X2=62000)+2000×P (X2=2000)=62000×0.01+2000×(1－0.01)=2600，
E（X3）=60000×P (X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P (X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100．
采用方案2的平均损失最小，所以方案2好．
【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差 408737 例题4】
【变式3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
30
25
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）
【解析】（1）由已知,得所以
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得
的分布为
X
1
1.5
2
2.5
3
P
X的数学期望为
.
（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则
.
由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以
.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.